函数应用—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）（含解析）

（5）函数应用—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物,自古以来深受人们的喜爱,古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑珠树中藏,此物只在五月有.游人过此尝一颗,满嘴酸甜不思归.”根据杨梅单果的果型和颜色,可将其依次分为4个等级,其等级与其对应等级的市场销售单价单位：元/千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的2级杨梅比4级杨梅多1倍,且1级杨梅的市场销售单价为4元/千克,则4级杨梅的市场销售单价最接近( )
A.元/千克 B.元/千克 C.元/千克 D.16元/千克
2.中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比.已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了( )（附：）
A. B. C. D.
3.函数的零点位于区间( )
A. B. C. D.
4.在百端待举、日理万机中,毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底,毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时,送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本,并在扉页上题词:好好学习,天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来,影响并指导着一代代青少年青春向上,不负韶华.他告诉我们:每天进步一点点,持之以恒,收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%,那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为,如果每天的“迟步率”为3%,同样经过一个学期后的学习情况为,经过一个学期,进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多,按上述情况,若“进步"的值是“迟步”的值的10倍,要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据:,）( )
A.28 B.38 C.60 D.100
5.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度( )
A.25天 B.30天 C.35天 D.40天
6.若函数有两个零点,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知一个直角三角形的面积为，则该三角形的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.对任意的函数,都有,,且当时,,若关于x的方程在区间内恰有6个不等实根,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.函数在区间内存在零点的充分条件可以是( )
A. B. C. D.
10.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）( )
A.当对折4次时，的最小值为64
B.当对折4次时，的最小值为32
C.一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次
D.一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次
11.已知,分别为函数与的零点,则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，.已知函数（，且），若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的取值范围是___________.
13.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为.
（1）如果不限定车型，，则最大车流量为__________辆/小时；
（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加_________辆/小时.
14.已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后的函数模型；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取）
16.（15分）某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放,已知该产品年固定研发成本30万元,每生产一台需另投入80元,设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完,每万台的销售收入为万元,.
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入－成本）;
（2）当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大 并求出最大利润.
17.（15分）2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响,在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.某公司为了激励业务员的积极性,对业绩在36万到200万的业务员进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随着业绩值x(单位:万元)的增加而增加,但不超过业绩值的20%.
（1）若某业务员的业绩为36万,核定可得4万元奖金,若公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型,则业绩144万元的业务员可以得到多少奖励
（2）若采用函数,求a的范围.
（参考数值:）
18.（17分）已知定义域为R的函数是奇函数，且指数函数的图象过点.
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）若方程，恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
19.（17分）若在定义域内存在实数,使得成立,则称函数有“飘移点”.
(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由;
(2)证明函数在上有“飘移点”;
(3)若函数在上有“飘移点”,求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意可知,解得由,可得,
所以
2.答案：D
解析：由题意可得，当时，，
当时，，
所以
，
所以C的增长率约为.
故选：D
3.答案：D
解析：函数是连续单调增函数，
，，
所以，
可得，
，
，
.
故函数的零点位于区间内，
故选：D.
4.答案：B
解析：设要经过n天,“进步"的值是“迟步”的值的10倍,
则,即,
则
.
故选:B.
5.答案：B
解析：依题意，，解得，，当时，，
即，解得，于是得，解得，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
故选：B.
6.答案：D
解析：函数有两个零点,即与的图象有两个交点,
令,作出与的大致图象如图所示,
由图可知,则,
故实数m的取值范围是.
故选：D.
7.答案：B
解析：由直角三角形的面积为，可设两条直角边长分别为，，则该直角三角形的周长
，
当且仅当即时，等号成立，故该三角形的周长的最小值为.
8.答案：A
解析：由,知函数为偶函数,
由,知函数为周期函数,且.
又当时,,
则当时,,,
由,得,
所以,
若方程在上有6个不等实根,
则函数与图象在上有6个不同的交点,
若,函数在上与函数图象只有1个交点,不符题意,故,
如图,
由图可知,,
解得,即实数a的取值范围为.
故选:A.
9.答案：AB
解析：因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减.若函数在区间内存在零点，则，即，解得.故AB符合题意，CD不符合题意.
10.答案：AC
解析：令，则，则，即，
即当对折4次时，的最小值为64，故A正确，B错误；
当，时，，
所以该矩形纸最多能对折6次，故C正确，D错误，
故选：AC.
11.答案：BCD
解析：对选项A：,函数在上单调递减,
,,故,错误;
对选项B：,函数在上单调递增,
,,故,正确;
对选项C：,即,
,即,
和关于对称,关于对称,
故和关于对称,,即,正确;
对选项D：,,故,即,
等号成立的条件为,此条件不成立,故,正确;
故选：BCD.
12.答案：
解析：根据新定义，作出的图象如下：
要使的图象上恰有3对点关于原点对称，
则与的图象恰有3个交点，如图所示，
则，解得.
故答案为：
13.答案：（1）1900
（2）100
解析：（1）当时，，
，
当且仅当，即时取等号.
最大车流量F为1900辆/小时.
（2）当时，，
，
当且仅当，即时取等号.
最大车流量比（1）中的最大车流量增加（辆/小时）.
14.答案：
解析：由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；
②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即
，解得；
③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即
，解得；
由①②③可知，实数a的取值范围是.
故答案为：.
15.答案：(1)（）
(2)6次
解析：（1）由题意得，，所以当时，，
即，解得，
所以（），
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为（）.
（2）由题意可得，整理得
两边同时取常用对数，得，整理得，
将代入，可得，所以，
又因为，所以，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
16.答案：（1）
（2）当年产量为30万台时,该公司获得的利润最大,最大利润为2370万元.
解析：（1）当时,年利润,
当时,,
年利润;
（2）当时,,
所以S在上单调递增,所以当时,;
当时,,
当且仅当,即时,等号成立,此时,
因为,所以,,
故当年产量为30万台时,该公司获得的利润最大,最大利润为2370万元.
17.答案：（1）7.75万元奖励;
（2）.
解析：（1）函数模型(k为常数),
当时,,代入解得,即,当时,,
当时,,
所以业绩200万元的业务员可以得到7.75万元奖励.
（2）函数模型,
因为函数在单调递增,则,,
由奖金不超过业绩值的20%,得,
于是对恒成立,
令,显然二次函数的图象开口向上且,
函数图象的对称轴,则只需,
即,解得,因此,
所以实数的取值范围是.
18.答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
解析：（Ⅰ）由指数函数的图象过点，
得，
所以，
又为R上的奇函数，
所以，
得，
经检验，当时，符合，
所以；
（Ⅱ），
因为在定义域内单调递增，
则在定义域内单调递减，
所以在定义域内单调递增减，
由于为R上的奇函数，
所以由，
可得，
则在恰有2个互异的实数根，
即在恰与x轴有两个交点，
则，
所以实数a的取值集合为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为R上的减函数且为奇函数，
由，
得，
所以，
即对任意的恒成立，
令，
由题意，
得，
所以实数a的取值范围为：.
19.答案：（1）不存在,理由见解析
（2）函数在上有“飘移点”
（3）
解析：（1）不存在,理由如下：
对于,则,整理得,
,则该方程无解,
函数不存在“飘移点”.
（2）对于,则,整理得,
在内连续不断,且,
在内存在零点,则方程在内存在实根,
故函数在上有“飘移点”.
（3）对于,则,
即,
,则,
令,则,
,
又,当且仅当,即时等号成立,
则,,
,即,
故实数a的取值范围为.