江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期期初考试数学试题(PDF版，无答案)

初三年级数学限量限时练习试卷
一、选择题（每题 2 分，共 12 分）
1． 若关于 x的方程 ax2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则 a满足的条件是 ( )
A．a 9≤ B．a＞0 C．a≠0 D 4．a＞
4 9
2．一元二次方程 x2－6x＋5＝0配方可变形为 ( )
A．(x－3)2＝4 B．(x＋3)2＝14 C．(x－3)2＝14. D．(x＋3)2＝4
3．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点
共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．下列方程中，两个实数根的和等于 2的方程是 ( )
A．2x2－4x＋3＝0 B．2x2－2x－3＝0 C．2y2＋4y－3＝0 D．2t2－4t－3＝0
5．如图，四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，
若 OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论正确的是 ( )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
6．如图，已知在等腰 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为 BC边的中线，过点 C作 CE⊥AD于点 E，交
AB于点 F．若 AC＝2，则线段 EF的长为 ( )
A 3． B 4 5 C 2 5． ． D 2．
5 15 15 3
O.
A B
（第 5题） （第 6题） （第 9题）
二、填空题（每题 2 分，共 20 分）
7．若一元二次方程 x2－2x＋c＝0有两个相等的实数根，则 c的值为 ．
8．两个相似多边形的相似比为 1：2，则它们周长的比为 ．
9．如图，在⊙O中，若∠AOB＝120°，则弦 AB所对的弧的度数为 ．
10．如图，D、E分别在△ABC边 AB、AC上，若 DE∥BC，AD＝2DB，DE＝4，则 BC的长为 ．
11．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧
的蜡烛（竖直放置）AB经小孔 O在屏幕（竖直放置）上成像 A′B′，设 AB＝36cm，A′B′＝24cm，小
孔 O到 AB的距离为 30cm，则小孔 O到 A′B′的距离为 cm．
A
D E P
B C Q
（第 10题） （第 11题） （第 12题）
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12．如图是一张三角形纸片，AC＝4，BC＝2，AB＝5，小明将它沿虚线 PQ剪开，得到△APQ和四边形
BCPQ两张纸片，且满足∠CPQ＝∠B，则 CP长的取值范围是 ．
13．若关于 x的方程(x－m)2＋a＝0（a、m为常数）的解是 x1＝4，x2＝－2，则方程 (x＋m)2＋a＝0的解
是 ．
14．如图，△ABC为等边三角形，点 D、E分别在边 BC、AB 上，若∠ADE＝60°，BD＝4DC，DE＝
2.4，则 AD的长为 ．
15．如图，矩形 ABCD的边 AB＝2，点 E、F分别在边 BC、AD上，且四边形 ABEF为正方形．若矩形
CDFE与矩形 ABCD相似，则 AD的长为_________．
（第 14题） （第 15题） （第 16题）
16．如图，将一张矩形纸片 ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕 EF，连接 BF．再将矩
形纸片折叠，使点 B落在 BF上的点 H处，折痕为 AG．若点 G恰好为线段 BC最靠近点 B的一个五
等分点，AB＝2，则 BC的长为 ．
三、解答题（共 10 题，共 88 分）
17．（8分）解方程：
（1）x2＝2x； （2） x2－4x－1＝0．
18．（6分）如图，点 A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC．求证：AC＝DB． B C
A O
· D
19．（6分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且 AB＝AC．求证：AO⊥BC．
A
·O
B C
20．（8分）已知关于 x的方程 x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为 x1和 x2，若 x12x2＝6，求实数 k的值．
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21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点 C，D在⊙O上，若⌒AD＝⌒CD．
求证：OD∥BC．
22．（8分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，
分别按下列要求画三角形．
（1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；
（2）在图③中，以 O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为 2∶1．
23．（10分）如图，在矩形 ABCD中，E是 AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F.
（1）求证：FC＝2FA；
（2）若 EF＝1，则 AC的长为 ；
（3）连接 DF，求证：DC＝DF．
24．（10分）一块直角三角形木板，它的一条直角边 AC长为 2m，面积为 1.5 m2．现在要把它加工成一
个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说
明哪位同学的加工方法符合要求．
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25．（12分）
[模型建立]
如图①、②，点 P分别在⊙O外、在⊙O内，直线 PO分别交⊙O于点 A、B，则 PA是点 P到⊙O
上的点的最短距离，PB是点 P到⊙O上的点的最长距离．
P O O PB A
A B
图① 图②
[问题解决]
请就图①中 PB为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点 P到⊙O上的点的最短距离为 3，最长距离为 7．则⊙O的半径为 ．
（2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点 E在边 BC上，且 CE＝2，动点 P在半径
为 2的⊙E上，则 AP的最小值是 ．
B y
B ·P
P
. CE
C A O A x
图③ 图④
[拓展延伸]
如图④，点 A(2，0)，动点 B在以 P (4，4)为圆心， 2为半径的圆上，OB的中点为 C，则线段 AC
的最大值为 ．
26．（12分）如图 1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点 D，E分别为 AC，BC的中点．
△CDE绕点 C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线 AD与直线 BE的交点为点 P．
（1）如图 1，当α＝0°时，AD与 BE的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）当 0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图 2的情形进行证明；若不成立，请说明
理由；
（3）△CDE绕点 C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中 P点运动轨迹的长度和 P点到直线 BC距
离的最大值．
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