人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．如图，在和中，，．若添加条件后使得，则在下列条件中，添加不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠EOB的度数为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．15°
3．如图，已知的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲
4．如图，已知△AOC≌△BOD，∠A＝30°，∠C＝20°，则∠COD＝(　　)
A．50° B．80° C．100° D．130°
5．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）
A．1.5 B．2 C． D．
6．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（ ）

A．35° B．40° C．50° D．55°
7．如图，点，在上，，，添加：①；②；③；④．四个条件中的一个，能使的是（　　）
A．①或③ B．①或④ C．②或④ D．②或③
8．如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　）
A．10 B．6 C．5 D．3
9．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
10．如图，中，交于D，平分交于E，F为的延长线上一点，交的延长线于G，的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）

A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，线段交于点，且，则与的关系是 ．
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是

13．如图在中，AD是它的角平分线，，，则 ．
14．如图，在中，平分 ，，已知的面积为13，的面积为9，则的面积为 ．

15．如图，在中，，，点M在线段上运动（M不与B，C重合），连接，作，交线段于N，当 时，．
16．已知：如图，≌，，，，．则的度数 ，的长 ．
17．如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．

18．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 ．
19．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．

20．如图，在中，是边上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，若运动过程中存在某一时刻与全等（其中与是一组对应角），则的值为 ．

三、解答题(共60分)
21．已知：AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF．求证：AB∥CD．
22．如图，点在同一直线上，，，.
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
23．已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．
求证：（1）AD＝BC；
（2）AE∥CF
24．如图①，在△ABC中，∠BAC=90', AB=AC, AE是过点A的一条直线，且点B, C在AE的异侧，BD⊥AE于点D, CE⊥AE于点E.
(1)求证: BD=DE +CE ;
(2)若当直线AE旋转到图②位置时，判断BD与DE，CE的数量关系，并说明理由.
25．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．
(1)求证：；
(2)试判：与的关系？并说明理由．
26．如图，，E是的中点，平分．
(1)求证：是的平分线：
(2)求证：．
27．如图1，在中，，、是边上的点，连接、，以的边所在直线为对称轴作的轴对称图形，连接，若.
（1）求证：.
（2）如图2若，探索，，之间满足怎样的数量关系时，是正三角形.
（3）如图3若，求证：.
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参考答案：
1．B
【分析】利用全等三角形的判定方法逐一进行讨论即可．
【详解】A选项中
∵
∴
在和中，
,故该选项正确；
B选项中，不能证明，故该选项错误；
C选项中，
在和中，
,故该选项正确；
D选项中，
在和中，
,故该选项正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．B
【分析】已知可得△ABF≌△ACE，结合三角形内角和可得∠AEC=95°，再由外角性质可得．
【详解】解：∵AE=AF，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴∠C=∠B=25°，
∴∠AEC=180°-60°-25°=95°，
∴∠EOB=95°-25°=70°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形中内角与外角之间的关系和全等三角形的判定和性质．此题主要运用了三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和、全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理．
3．A
【分析】根据三角形全等的判定定理逐个进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴甲三角形有两角及其中一组等角的对边与分别相等，根据可以判断甲三角形与全等；
乙三角形有两角及其夹边与分别相等，根据可以判断乙三角形与全等；；
丙三角形有两边及一边的对角与分别相等，不可以判定丙三角形与全等；
所以与全等的有甲和乙，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差得到∠AOC＝∠BOD，由三角形外角的性质得到∠AOD＝∠BOC＝∠A+∠C＝50°，根据平角的定义即可得到结论．
【详解】解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝∠BOC＝∠A+∠C＝50°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝80°．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=，进而得出 CEB ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．
【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=，
∴∠EBC=∠DCA，
在 CEB和 ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，
∴ CEB ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC，过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE是∠CAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴ ∠ACD=∠BEC+∠ABC，
∴ （∠ABC+∠BAC）=∠BEC+∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BAC=80°，
∴∠BEC=40°，
过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC， ∴EF=EH，
∵CE平分∠ACD， ∴EG=EH，
∴EF=EG，
∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=（180°-∠BAC）= （180°-80°）=50°．

故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出AE是外角的平分线．
7．D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．添加条件得，根据得出全等，也可以加上条件可以用证明三角形全等．
【详解】解：根据题意，∵，
∴，
∴加上条件，利用证明三角形全等；
∴添加条件，
得，根据得出全等；
故选：D．
8．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案．熟知角平分线的性质是关键．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，，
，
，
故选：．
9．C
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：由基本作图得到平分，
∴点E到和的距离相等，
∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为4，
∴．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线性质及其意义，三角形面积性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
如图，①根据三角形的内角和即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到；④根据二角形的内角和和外角的性质即刻得到．
【详解】解：设与的延长线交于点，
，
∴，
∴，故①正确；
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，故②正确；
平分，
，
，故④正确；
平分，
∴点到的距离相等，都设为，
，故③正确．
故选：B．
11．平行且相等
【分析】由条件可以直接得出△ACB≌△ECD，就可以得出AB=DE，AB∥DE．
【详解】在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴AB=DE，∠B=∠D，
∴AB∥DE．
故答案为：AB=DE，AB∥DE，即平行且相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行线的判定的运用，解答时证明△ACB≌△ECD是关键．
12．（或或或）．
【分析】根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明．
【详解】解：∵，，
∴，，
①添加条件为：，
在和中，
，
∴；
②添加条件为：，
在和中，
，
∴；
③添加条件为：，
∴，
在和中，
，
∴；
④添加条件为： ，
在和中，
，
∴；
∴这个条件可以是（或或或）．
故答案为：（或或或）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13．
【分析】如图，过作于 作于 再证明再利用面积公式直接进行计算即可．
【详解】解：如图，过作于 作于
∵AD是它的角平分线，
而，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积的计算，证明是解本题的关键．
14．26
【分析】延长交于点E，可得，则与的面积相等，点D是的中点，从而与的面积相等，且可求得的面积，进而求得结果．
【详解】延长交于点E，如图所示

∵
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴与的面积相等，
∴点D是的中点
∴与的面积相等，且的面积等于的面积与的面积的差，即为
∴的面积为4
∴的面积
故答案为：26
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识，关键是构造辅助线并证明．
15．3
【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质，用证明三角形全等，还有外角和外角定理．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∵，，
∴，
又∵，
∴当时，．
故答案为：3．
16． /35度 6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得，再根据得出答案，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的对应角相等得，得出答案．
【详解】∵≌，
∴，．
∵，，
∴，
∴.
故答案为：，6．
17．
【分析】本题考查了角平分线的性质；过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作于点E，

∵平分于点D，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：．
18．3
【分析】此题考查角平分线性质定理，过点D作于E，根据角平分线性质得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
即点D到的距离为．
故答案为：3．
19．2
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得，根据的面积是，列式得，再进行计算，即可作答．
【详解】解：∵中，于E，于F，为的平分线
∴
∵的面积是，
∴
则
∴
解得
故答案为：2
20．1或
【分析】设点D、F的运动时间为，用表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可求解．
【详解】解：设点D、F的运动时间为，则，，，
分两种情况：①当时，即，
∴，
解得：；
②当时，即，
∴
解得：；
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，根据对应角分情况讨论是解题的关键．
21．见解析.
【分析】根据垂直的定义可得∠AEB=∠DFC=90°，根据直角三角形全等的判定HL可得Rt△AEB≌Rt△DFC，再由全等三角形性质得∠B=∠C，根据平行线的判定即可得证.
【详解】证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
∵ ，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB∥DC.
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及性质．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得，由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）先由，，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的性质可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法得出（AAS），根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由（1）求得的结论进而证明（SAS），根据全等三角形的性质和再平行线的判定方法即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
∴（AAS），
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，正确得出和是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）BD=DE-CE，理由详见解析.
【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD＝EAC，AB＝AC，则可判定Rt△BDA≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同（1）可证Rt△BDA≌Rt△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系．
【详解】（1）∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠EAC＝90，
∴∠ABD＝∠EAC，
在Rt△BDA和Rt△AEC中，，
∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD＋DE＝DE +CE；
（2）BD＝DE CE，
理由：∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠EAC＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
在Rt△BDA和Rt△AEC中，，
∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝DE AD＝DE CE．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
25．(1)证明见详解
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）易证，又，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先证，得出，，再由，，则，即可得出结论
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
；
（2）解：与的关系为：，，理由如下：
，
，
由（1）得：，
在和中，
，
，
，，
又，，
，
．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键．
（1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分；
（2）首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
，平分，，
，
是的中点，
，
，
又，，
平分；
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
，
同理，
，
．
27．（1）详见解析；（2）或 或时，是正三角形；（3）详见解析
【分析】（1）利用对称性易得对应边相等，再根据边边边可证；
（2）利用等边对等角易得，进而推出，当是等腰三角形时，即可得是正三角形；
（3）由可推出，再推出△CED'为直角三角形，利用勾股定理可证明结论.
【详解】（1）由对称得，
在和中
（2）当 或 或 时，是正三角形
∴当 或 或 时，是等腰三角形
是正三角形
（3）
又
由（2）得，
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，以及勾股定理的运用，利用全等三角形对应边相等进行等量代换是关键.
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