人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列方程式是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
5．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
6．把方程化成的形式，则的值是（　　）
A．9 B．13 C． D．
7．已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
8．若多项式可以分解为，则在关于x的方程中，的值为（ ）
A．3或 B．或1 C． D．1
9．已知实数、均不为，，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．设为实数，且，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共30分)
11．已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ．
12．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
13．一元二次方程与的所有实数根的和等于 ．
14．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ．
15．若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为 ．
16．某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有 家商家参加了交易会．
17．若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
18．若与互为相反数，则x的值为 ．
19．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
20．已知实数a，b是满足 ，且，则的值是 ．
三、解答题(共60分)
21．解方程
(1)（配方法） (2)（公式法）
(3) (4)
22．把方程配方，得到．
(1)求常数与的值；
(2)求出此方程的解．
23．已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为，求代数式的值．
24．某公司生产某种产品，2022年产量为40万件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，确保2022至 2024这三年的总产量达到280万件．求这个增长的百分数．
25．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
26．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为

(1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后的面积为？
(3)多长时间后P点、Q点的距离为5？
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：．
【详解】、是分式方程，此选项不符合题意；
、是二元一次方程，此选项不符合题意；
、是一元一次方程，此选项不符合题意；
、是一元二次方程，此选项符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为”这一条件．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，知，然后据此列出关于的不等式组，解之即可．
【详解】解：有两个不相等的实数根，
且，
解得且．
故选：D．
3．D
【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算求得斜边，最后根据三角形面积公式即可解答．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，勾股定理，完全平方公式，熟练运用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为、，斜边上的高为，
∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，
∴，，
∴直角三角形斜边长为，
∴，，
∴，
解得：，
这个直角三角形的斜边上的高是，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法及菱形的性质，先利用因式分解法解方程得到，，则菱形的两对角线长分别为8和2，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．掌握菱形的性质和一元二次方程的解法是关键．
【详解】解：，
，
或，
解得，，
即菱形的两对角线长分别为8和2，
所以菱形的面积．
故选：．
5．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，
依题意得：，
解得（不合题意，舍去），
故选：B．
6．B
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可．
【详解】解：，
移项得，，
配方得，，
得，，
∴，，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论．
【详解】解： ∵，
∴，
∴
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
8．D
【分析】此题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式的运算及解一元二次方程，正确将原式变形是解题关键．直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案．
【详解】解：多项式可以分解为，
，
，
，
，
故选：D．
9．D
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程以及求代数式的值，由，解得或，从而求得的值，代入即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
经检验或都是的解，
当时，，，
当时，，，
∴的值为，
故选D．
10．D
【分析】本题考查了因式分解，一元二次方程的根的存在性，乘方运算等知识，解题的关键是掌握因式分解的方法．由已知等式用分组分解法、提公因式法、方程等知识恒等变形，求出符合条件的的值，再代入所求式子中计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
或，
若时，，
为实数，
此一元二次方程在实数范围内无解；
若时，则，
，
故选：D．
11．1或9
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先判断出，再解方程得到 ，根据 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可．
【详解】解：当时，则，等式不成立；
∴，
∴方程是一元二次方程，
∴，
∵方程至少有一个整数根，
∴必须是整数，
∴必须是整数，
∴或，
∴或
故答案为：1或9．
12．8
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入一元二次方程得到关于a的一元一次方程求解出a的值，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意得：，即，
解得：，
，
故答案为：8．
13．
【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系进行计算是解题的关键．根据进行计算即可．
【详解】解：根据，
故实数根的和为，
实数根的和为，
故所有实数根的和等于，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把一元二次方程的解代入一元二次方程即可得出a的值．
【详解】解：把代入，
得：
故答案为：．
16．9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设有家商家参加交易会，根据题意列出方程并求解即可．
【详解】解：设有家商家参加交易会，根据题意列出方程得，
，
解得或（舍去）
则，
答：共有9家商家参加了交易会．
17．4
【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程得到，再计算即求值即可．
【详解】解：把代入方程得：
，即，
则，
故答案为：4．
18．或
【分析】根据题意，得，然后利用配方法解方程即可．
本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
即，
配方，得，
两边同时开平方，得，
解得，．
19．/
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，推断出a，b是方程的两根是解题的关键，根据题意可知a，b是方程即的两根，得到，，从而利用得解．
【详解】解：∵，且，
∴a，b是方程即的两根，
∴，，
∴，
故答案是：．
21．(1)，
(2)，
(3)，
(4)原方程无解．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）根据判别式得到，进而得到原方程无解．
【详解】（1）
∴
∴，；
（2）
，，
∴
∴
∴，；
（3）
∴或
∴，；
（4）
，，
∴
∴原方程无解．
22．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，
（1）移项，配方即可得出，，即可得解；
（2）将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解；
解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；
②将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；
③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
解得：，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴方程的解是：，．
23．(1)见解析
(2)0
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
24．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，今后两年的产量较上一年增长的百分数为x，则2023年的产量为万件，2024年的产量为万件，再根据2022至 2024这三年的总产量达到280万件列出方程求解即可．
【详解】解：设今后两年的产量较上一年增长的百分数为x，
根据题意：
解得： (不合题意舍去)，
∴
答：增长的百分数为100%．
25．(1)，
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
26．(1)，，
(2)或时，的面积为
(3)秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用.
（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理解方程即可得到结论.
【详解】（1）解：；
；
的取值范围为：；
（2）设秒后,的面积为
根据题意得，
解得：，
答: 经过或时，的面积为；
（3）设秒后点、点的距离为，
根据题意得，，
解得： 或 (不合题意舍去)，
答：秒后点、点的距离为 ．
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