2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为( )
A. B. C. D.
5.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
7.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高时，他选取了塔底在同一水平面内的两个测量基点与，，，在点处塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数、在复平面内的对应点分别在一、二象限，则在复平面内的对应点可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为：：
11.对于，有如下判断，其中正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为等腰或直角三角形
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为______．
13.如果在一个边长为的正中，一个向量所对应的有向线段为其中在边上运动，则向量长度的最小值为______．
14.在中，在上，平分，若，，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，为虚数单位．
求；
若，求的共轭复数；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，与的夹角为．
求在方向上的投影向量；
求的值；
若向量与平行且方向相同，求实数．
17.本小题分
已知在长方体中，，，，为棱的中点．
Ⅰ求三棱锥的表面积；
Ⅱ求四棱锥的体积．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
试判断的形状；
若，求周长的最大值．
19.本小题分
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到．
求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
答案解析
1.
【解析】解：．
故选：．
根据复数四则运算计算即可．
本题考查复数四则运算应用，考查数学运算能力，属于基础题．
2.
【解析】解：由题意可得．
又因为，
所以有，
解得，
故选：．
先由的坐标求得的坐标，再根据，可得，代人坐标求解即可．
本题考查向量垂直，数量积的坐标运算，是基础题．
3.
【解析】解：在中，，．
故选：．
运用平面向量的三角形法则，直接求解．
本题考查了平面向量的基本运算，是基础题．
4.
【解析】解：如图，
设正三棱柱的底面边长与高相等，等于，
由题意，，解得．
该正三棱柱一个侧面的对角线长为．
故选：．
由题意画出图形，再由已知棱柱体积求得底面边长与高，则答案可求．
本题考查棱柱体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
5.
【解析】解：根据题意，矩形，，，
则，
如图：平面图形是平行四边形，
，，
，
则四边形的周长．
故选：．
根据题意，作出原图矩形，分析原图中、的值，进而计算可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
6.
【解析】解：设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为，体积为，
所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，
所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，
所以球的半径为，球的表面积．
故选B．
7.
【解析】解：由题意可得，，，
由余弦定理可得，即，
又，
可得，
利用正弦定理可知，
所以．
故选：．
根据余弦定理可计算出，再利用正弦定理即可得出．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
8.
【解析】解：由题可知，在中，，，故，
由正弦定理可得：，
又，
解得，
因为在中，所以．
故选：．
在中利用正弦定理求解，进一步在中根据即可求解．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9.
【解析】解：在复平面内，设复数、对应点的坐标分别为，，则有，且，，
于是得对应点的坐标为，此时恒有，而有值不确定，
即在复平面内的对应点必在轴上方，可能在第一象限，第二象限或者在轴正半轴上，
所以选项C，不可能，，有可能．
故选：．
设出复数、对应点的坐标，求出对应点的坐标即可分析得解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
10.
【解析】解：选项，圆柱的侧面积为，故A选项错误．
选项，圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，故B选项错误．
选项，球的表面积为，
所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．
选项，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
球的体积为，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为：：：：，故D选项正确．
故选：．
根据圆柱、圆锥侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案．
本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
11.
【解析】解：中，因为，在中，由正弦定理可得，
所以该三角形为等腰三角形，所以A正确；
中，因为，在中，可得或，
即或，可得，
所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确；
中，在三角形中，，，因为在上单调递减，所以，所以C正确；
中，当为钝角，为锐角时，此时时，，所以不正确．
故选：．
中，由正弦定理可得，进而可得，即判断出该三角形的形状，进而判断出的真假；中，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，判断出的真假；中，由余弦函数的单调性，可得角，的关系，判断出的真假；中，当为钝角，为锐角时，判断出的真假．
本题考查三角形中角之间的关系及余弦函数的单调性的应用，属于中档题．
12.
【解析】解：由直观图可得平面图形如下图所示：
则，，
在题设等腰梯形中，，
因此，
所以．
故答案为：．
根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积．
本题主要考查了平面图象的直观图，属于基础题．
13.
【解析】解：由题意可得，当为的中点时，此时向量长度最小，
即，
故答案为：
由题意可得，当为的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决．
本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题．
14.
【解析】解：在中，，，，
余弦定理：可得
即．
在中，设，则．
余弦定理：可得
即，
在中：
余弦定理：可得
即：，
由求解得：．
故答案为：．
根据余弦定理求出的长度，在和中，利用余弦建立等式关系求出即可．
本题余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．解题时要注意余弦定理的合理运用．
15.解：，，
则；
，，
，
．
在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为
【解析】结合复数的四则运算，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
16.解：，，与的夹角为，
，
在方向上的投影向量为；
，，与的夹角为，
，
；
与平行，
，解得：或，
当时，
方向相同，
当时，方向相反，故舍去，
．
【解析】根据投影向量求解公式求出答案；
平方后求出，得到模长；
根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案．
本题考查向量的数量积的定义和性质，以及向量的投影和夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于中档题．
17.解：因为在长方体中，，，，为棱的中点，
所以，
；
．
【解析】分别求出各个面的面积即可求解；
根据即可求解．
本题考查几何体表面积与体积的计算，属于中档题．
18.解：由，利用余弦定理得，即，
所以，
所以是直角三角形；
由知是直角三角形，且，
可得，，
所以周长为，
所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．
【解析】由题意利用余弦定理得，可求，即可判断的形状；
由及题意可得，，进而利用三角函数恒等变换以及正弦函数的性质即可求解．
本题考查了余弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.解：设一个棱长为的正四面体，将其放到一个正方体中，
则可知该正方体的棱长为，
该正四面体的体积为，
根据题意可得石凳的体积与原正四面体的体积之比为：
；
根据题意可得一个石凳的表面积为：
，
粉刷一个石凳需要的钱为：元．
【解析】利用分割补形法，即可求解；
根据题意可得石凳的表面积为个正六边形与个正三角形面积之和，再计算即可求解．
本题考查几何体的体积与表面积的求解，分割补形法的应用，属中档题．
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