2023-2024学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题（含解析）

2023-2024学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
3.设为实数，且，则“”是“的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.今年贺岁片，第二十条、热辣滚烫、飞驰人生引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.三个数的大小关系是( )
A. B.
C. D.
6.如图所对应的函数的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
7.下列说法正确的个数是( )
线性相关系数越接近，两个变量的线性相关程度越强；
独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系；
在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高；
甲、乙两个模型的决定系数分别约为和，则模型甲的拟合效果更好．
A. B. C. D.
8.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己名航天员开展实验，设事件“有名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则( )
A. B. C. D.
9.计算的值为( )
A. B. C. D.
10.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的城市和交通拥堵不严重的城市分别随机调查了名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表：
总计
认可
不认可
总计
附：．
根据表中的数据，下列说法中，正确的是( )
A. 没有以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B. 有以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C. 可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D. 可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
11.已知函数，则下列结论
函数在上为增函数；函数过定点；
函数为偶函数；当时，函数的最小值是．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.若随机变量，且，则 ．
14.函数的定义域是 ．
15.天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有，，的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ．
16.已知二项式关于的 展开式中，所有项的系数之和为，则展开式中的系数为 用数字作答
17.在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用表示．
已知表中数据的经验回归方程同时满足：过点；每增加一个单位，增加个单位，则 当；时， ．
18.随机变量的概率分布列如下表：
根据随机变量的分布列，计算出 ，若，则的数值应是 ．
19.已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ．
20.若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．
应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．用表示抽取的人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望．
22.（12分）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下：
决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
如果在答满轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第轮了；
设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望；
求在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率．
23.（13分）已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
已知函数，求的单调区间；
若对于任意，都有为自然对数的底数，求实数的取值范围．
24.（13分）已知函数．
求函数的极值；
若的导数分别为，且，求的取值范围；
用表示，中的最小值，设，若，判断函数的零点个数．
答案解析
1.
【解析】解：，
，
即．
故选：
2.
【解析】对于，二次函数对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故A错误；
对于，由对数函数的单调性得，在上单调递增，故 B错误；
对于，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递减，故 C正确；
对于，因为和在上单调递增，故在上单调递增，故 D错误；
故选：．
3.
【解析】解：由不能推出，如，，，，
满足，但是，故充分性不成立；
当时，又，可得，即，故必要性成立；
所以“”是“的必要不充分条件．
故选：．
4.
【解析】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种，
故选：．
5.
【解析】解：，
，
，
即．
故选：．
6.
【解析】对于，当趋于时，趋于，对比题图可知，不符合题意；
对于，的定义域关于原点对称，且，
所以的图象关于轴对称，与题图不符，不符合题意；
对于，的定义域关于原点对称，且，
所以的图象关于轴对称，与题图不符，不符合题意；
对于，的定义域关于原点对称，且，
所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，符合题意．
故选：．
7.
【解析】线性相关系数越接近，两个变量的线性相关程度越强，故正确；
独立性检验并不能确定两个变量之间是否具有某种关系，故错误；
回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故正确；
回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故正确；
故选：．
8.
【解析】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为．
故选：．
9.
【解析】




．
故选：．
10.
【解析】由
对于，因，故有以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误；
对于，因，故没有以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误；
对于，因，故可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确；
对于，因，故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即D错误．
故选：．
11.
【解析】对于，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以在上为增函数，
当时，函数单调递减，函数单调递增，所以在上为减函数，
错误；
对于，当时，，即函数过定点，正确；
对于，由函数可得：，解得：，
故函数的定义域是，关于原点对称，
因为，，
所以，即原函数为偶函数，正确；
对于，当时，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得最小值，正确．
故选：．
12.
【解析】解：方程，显然不为该方程的实数根，
设
即方程有三个不同的实数根，
即有三个不同的实数根，
当时，，则，
由，可得；，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，
从而作出的大致图像．
由图可知当时，直线与函数的图象有个交点，
即方程有三个不同的实数根．
由，得，
由，得，
所以
所以．
故选：．
13.
【解析】因为，所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，
故答案为：．
14.
【解析】要使函数有意义，当且仅当，解得，
所以函数的定义域是．
故答案为：．
15.
【解析】由全概率公式可知，所求概率为．
故答案为：．
16.
【解析】由所有项的系数之和为，令，，所以，
所以展开式通项为，
令，解得，
所以展开式中的系数为，
故答案为：．
17. ． ．
【解析】，，
因为经验回归方程过点，
所以，解得，
由，可得，则，
当时，，
故答案为：，．
18. ．
【解析】依题意，，
解得，，代入得，．
故答案为：；
19.
【解析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“”的用法求解即可．
【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，，
所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立．
所以的最小值是．
故答案为：．
20.
【解析】设，则，故对有，对有．
所以在上递减，在上递增．
同时，有
当时，根据的单调性，对有．
所以对有，对有．
从而在和上递减，在上递增．
即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件；
当时，根据的单调性，有
．
故，，．
结合，知方程在和上各有一个零点，分别记为．
结合的单调性，知对有，对有．
此时，我们又有．
所以当时，由知，再由知．
所以对有，对有．
从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件；
当时，由及，知．
所以对有，对有．
从而在上递减，在和上递增．
此即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件；
当时，由知．
所以对有，对有．
从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件．
综上，的取值范围是．
21.【小问详解】
解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为，
现采用分层抽样的方法，从中抽取人，进行睡眠时间的调查，
则从甲部门的员工中抽取人，
从乙部门的员工中抽取人，
从丙部门的员工中抽取人
【小问详解】
解：若抽取的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，
现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查，用表示抽取的人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
则数学期望为
【解析】根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解；
根据题意，得到变量的可能取值为，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解．
22.【小问详解】
由题可得，的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以，的分布列为：
所以．
【小问详解】
将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，
则，
，
所以．
因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为．

【解析】分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值；
将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，分别计算出、的值，利用互斥事件的概率公式可求得的值．
23.【小问详解】
由得，，，，
所以在点处的切线方程为．
【小问详解】
，，
，令，解得，
因为时，，所以在上单调递减，
因为时，，所以在上单调递增，
所以的单调减区间为，单调增区间为．
【小问详解】
由题可知，，
所以，设，，
则，令，解得，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
又，即，
所以．

【解析】根据导数运算及导数的几何意义求解即可；
根据导数的正负求解的单调区间；
根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围．
24.【小问详解】
，令得，或不合题意舍去，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
【小问详解】
由得，时，，
对求导得，，
时，恒成立，
所以时，恒成立，设，
，令，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是．
【小问详解】
因为，设，则，
若，令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
所以时，没有零点；
若，由知，
当时，，在上单调递增，
又，所以时，，
当时，，所以在上单调递增，且，
存在唯一，使得，则，
当时，，即在单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，且，
所以存在唯一，使得，
综上所述，时，无零点，当时有个零点．

【解析】根据导数的运算求得，分析出单调性即可求得极值；
将问题转化为时，恒成立，构造函数，求解最小值即可；
由题意可知，当时，通过求的范围即可判断；当时，通过比较和的正负即可判断的零点个数．
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