2024-2025学年福建省部分优质高中高二上学期入学质量检测数学试卷（含解析）

2024-2025学年福建省部分优质高中高二上学期入学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为( )
A. B. C. D.
2.已知，是相互垂直的单位向量，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，点，分别为，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
5.如图所示，正方体的棱长为，点分别为的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成的角为
6.已知，分别是正四面体中棱，的中点，若点满足则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论( )
A. 的最小值为
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
8.在正四面体中，点在棱上，满足，点为线段上的动点，则( )
A. 存在某个位置，使得
B. 存在某个位置，使得
C. 存在某个位置，使得直线与平面所成角的正弦值为
D. 存在某个位置，使得平面与平面夹角的余弦值为
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则直线平面
B. 若，则平面平面
C. 若，则平面所成锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角的大小为
10.下列说法错误是( )
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若其中，则四点共面
11.在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有( )
A. 当点为三角形的重心时，
B. 当时，的最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，若，则实数 ．
13.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是 结果用表示．
14.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
存在点，使；
存在点，使；
到直线和的距离相等的点有无数个；
若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
16.本小题分
在长方体中，点，分别在，上，且，．
求证：平面平面；
当，，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面．
求证：平面；
若，，点在棱上，且二面角的大小为．
求证：；
设是线段上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
瀑布图是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”图
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如图埃舍尔多面体可视部分是由个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图我们构造了其中两个四棱锥与
求异面直线与成角余弦值；
求平面与平面的夹角正弦值；
求埃舍尔体的表面积与体积直接写出答案．
19.本小题分
如图，在平行四边形中，，为的中点．将沿折起，连接与，如图．

当为何值时，平面平面
设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．
答案解析
1.
【解析】点关于轴的对称点为，
故选：．
2.
【解析】是相互垂直的单位向量，故，
故．
故选：
3.
【解析】根据题意，．
故选：
4.
【解析】因为
所以，
因为平面平面，若平面与平面夹角的余弦值为，
所以，化简得，解得或．
故选：
5.
【解析】选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故 A错误；
如图建立空间直角坐标系，则，
对于，设平面的法向量为，则，令，则，
因为，所以，所以，
因为在平面外，所以直线与平面平行，所以 B正确，
对于，，所以三棱锥的体积为，所以 C错误，
对于，，直线与平面所成的角为，，所以 D错误，
故选：．
6.
【解析】设，
因为，所以
，
设正四面体的棱长为，
故
，
又
，
所以，
故，
与夹角的余弦值为．
故选：
7.
【解析】根据正方体的特征可知面，
又面，所以，
即是异面直线和的公垂线，
当分别与重合时，最小值，最小值为，故A正确；
易知，所以，故 B正确；
易知是等边三角形，所以当是中点，而与重合时，，
又由项可知当分别与重合时，，故 C错误；
如图所示，建立空间直角坐标系，则，可设，，
若存在点，使为等边三角形，则有
由，由，
解方程得，
当舍去，
又因为所以符合题意，即 D正确．
故选：
8.
【解析】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为，
则，，，，，
设，其中，
对于，若存在某个位置使得，，，
所以，解得，不满足题意，故 A错误；
对于，若存在某个位置使得，，，
则，该方程无解，故 B错误；
对于，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得直线与平面所成角的正弦值为，又，
则，
整理得，解得或舍去，
所以存在，即为的中点，满足题意，故 C正确；
对于，设平面的一个法向量为，
又，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面与平面夹角的余弦值为，
则，
整理得，易得，所以该方程无解，故 D错误．
故选：．
9.
【解析】由，则直线平面或，故错误；
由，则平面平面，故正确；
若，设平面和平面所成角为，且，
则，
所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；
设直线与平面所成角为，
则，且，
所以直线与平面所成角的大小为，故正确．
故选：．
10.
【解析】对于，， A正确；
对于，当时，不存在， B错误；
对于，共线，可以在同一条直线上， C错误；
对于，当时，四点不共面， D错误．
故选：
11.
【解析】对于，当点为三角形的重心时，，
所以，又因为，
所以，所以，故 A错误；
对于，
，
因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，所以的最小值为，故 B正确；
对于，当点在平面内时，
则存在唯一实数对使得，
则，又因为，
所以，所以，
因为，所以，所以的最大值为，故C正确；
对于，当时，由选项知，
，
在方向上的投影为，
所以点到的距离，
因为，所以，当且仅当时，取等号，
所以点到的距离的最小值为，故 D正确．
故选：．
12. 或
【解析】因为，，
因为，所以，解得：
故答案为：
13.
【解析】向量在向量方向上的投影向量为．
运用运用余弦定理求得．
，，
，展开化简得到，
，由于且面，则，
则．
代入，得到则向量在向量方向上的投影向量为．
故答案为：．

14.
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、、，
设，，其中，，
对：，则，
当，，时，有，
故存在点，使，故正确；
对：，，
若，则有
由，，故当时，，，
此时有，即，即，
此时与重合，与重合，故不存在点，使，故错误；
对：点到直线的距离为，点到直线的距离为，
即有，即，由，
故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故正确；
对：，，
由，故有，则，
又，
故，故正确．
故答案为：．
15.
平面平面，且两平面交于，又，
平面．
在中，，，．
且，是等腰直角三角形，
，．
，，
又，为等腰直角三角形，．
，，
又，所以，平面，平面，
平面．
由得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系．
可得，，，
即，．
设平面的法向量为，则
解得．
平面的法向量为．
设二面角为，所以，
则．
【解析】根据三角形边角关系可证明相似，即可得，即可求证，
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可．
16.
为长方体 平面
平面
又，且，平面，
平面
平面
平面平面
依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，
则，
则
设平面 法向量为则，即
令，则．．
设平面的法向量为，则
令，则，所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
【解析】先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；
应用空间向量法求二面角余弦值．
17.证明：在四棱锥中，
因为底面为矩形，
所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以，
因为，，平面，且，
所以平面．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，．
所以．
因为点在棱上，
所以设，或显然不满足题设．
因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量，
则，即
取．
又是平面的一个法向量，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，
即，解得．
此时，，
又，
所以，
所以，即．
因为是线段上的点，
所以设，
由，可得，所以
平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，
则，．
令，，则，
则，
则，
令，则
则，
所以当，即时，，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求线面的夹角正弦值，判定线线垂直，属于拔高题．
由条件证明得到，再利用线面垂直的判定定理求出答案．
以为正交基底，建立空间直角坐标系，
设，求出向量的坐标，进而得到的坐标，再求出平面的法向量和平面的法向量，根据二面角的大小为列式求出，进而求出的坐标，根据其数量积为证明即可．
设，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，进而得，化简为，进而求出其最大值即可．
18.解：由题意可知，两两垂直，且以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，如下图，建立空间直角坐标系．
则由题意可得，，，，，，，， ，
又分别是的中点，
所以， ，
所以，，
则，
所以异面直线与成角的余弦值为 ；
由可得，，，， ，
设是平面的一个法向量，
则
即
令，可得是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
因为，
则
即
取，可得是平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面的夹角正弦值为 ；
由、可得：，，，，， ，
所以，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
又，
所以，即，
所以四边形为菱形．
又，，
所以 ，
设是平面的一个法向量，
则
即
取，则是平面的一个法向量，
又，
所以点到平面的距离 ，
所以四棱锥的体积，
四棱锥的体积，
因为，， ，
所以在方向上的投影为，
所以点到直线的距离 ，
同理可得点到直线的距离 ，
所以四棱锥的侧面积 ，
所以埃舍尔体的表面积为：，体积为：．
【解析】本题考查空间向量、简单组合体的表面积与体积，属于难题；
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系写出点的坐标，求出，，根据向量即可求解；
根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦值，进而得出结果；
由已知可得，四边形为菱形根据向量法求解即可得出结果．
19.
连接，由题意得，，
则为等边三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
则，故．
若平面平面，
由平面平面，平面，，
则平面，平面，则，
所以．
下面证明当时，平面平面．
证明：由，则，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故当时，平面平面；
由知，，则平面平面．
在平面内过作，
由平面平面，平面，
则平面，平面，则．
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简得，解得或舍去，
故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；

设点到平面的距离为，
由，其中为定值，
则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大，
取中点，连接，则，
当平面时，点到平面的距离最大，
此时，由平面，则平面平面，
由知，，为直角三角形，．
则，
，
，
在中，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
其中，，
故，
故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为．
【解析】先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可．
由得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可
借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径．
方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得．
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