2024-2025学年陕西省陕西师范大学附属中学高二上学期期初考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年陕西省陕西师范大学附属中学高二上学期期初考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用，，，，，表示下雨，用计算机产生了组随机数为，，，，，，，，，据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A. B. C. D.
3.已知平面平面，，是平面，外两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过例”根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是( )
A. 甲地：均值为，中位数为 B. 乙地：均值为，方差为
C. 丙地：中位数为，众数为 D. 丁地：均值为，方差大于
5.把一根长度为的铁丝截成段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
6.设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为，则( )
A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定
C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定
7.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.三棱锥的侧棱是它的外接球的直径，且，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、都是复数，下列正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
10.已知事件，发生的概率分别为，，则下列结论正确的有( )
A. 若与互斥，则
B. 若，则
C. 若，则与相互独立
D. 若与相互独立，则
11.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则( )
A. 直方图中的值为
B. 估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为分
C. 估计该市普法知识竞赛成绩的众数为分
D. 估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为分
12.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则( )
A. 球与圆柱的体积之比为
B. 四面体的体积的取值范围为
C. 平面截得球的截面面积最小值为
D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从某中学抽取名同学，他们的数学成绩如下：，，，，，，，，，，，单位：分，则这名同学数学成绩的第百分位数为 ．
14.已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
15.直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ．
16.在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示：底面是边长为单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
证明：平面
求该包装盒的容积不计包装盒材料的厚度．
18.本小题分
面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有、、三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为求：
他们能研制出疫苗的概率；
至多有一个机构研制出疫苗的概率．
19.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知，．
求的值；
若，且，求的面积．
20.本小题分
某校高一年级有男生人，女生人为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为的样本，并观测样本的指标价单位：，计算得男生样本的身高平均数为，方差为下表是抽取的女生样本的数据；
抽取次序
身高
记抽取第个女生的身高为，样本平均数，方差．
参考数据：，，．
若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
用总样本平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．
21.本小题分
如图所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图的四棱锥，为中点，
若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
答案解析
1.
【解析】解：，．
2.
【解析】解：由题意得样本空间包含的样本点为个，
这三天中恰有两天下雨包含的样本点为，，，，有个，
这三天中恰有两天下雨的概率为．
故选B．
3.
【解析】解：由线面平行的性质知“若，且，则”，A正确
由线面垂直的性质知“若，则”，故B正确
若，，则与的关系不能确定，故C错误
由线面垂直的性质知“若，，则”，故D正确．
故选C．
4.
【解析】对于，均值为，中位数为，不能保证个数据中每个数据都不超过，
如前天每天新增疑似病例都为，第至第天每天新增疑似病例数依次为，，，，，，
满足均值为，中位数为，而第天新增疑似病例数超过，不是；
对于，均值为，方差为时，令这个数据依次为，则，
，则，即，因此所有数据都不超过，是；
对于，中位数为，众数为，不能保证个数据中每个数据都不超过，
如前天每天新增疑似病例都为，第至第天每天新增疑似病例数依次为，，，，，
满足中位数为，众数为，但第天新增疑似病例数超过，不是；
对于，均值为，方差大于，不能保证个数据中每个数据都不超过，
如前天每天新增疑似病例都为，第天新增疑似病例数为，
满足均值为，方差大于，但第天新增疑似病例数超过，不是．
故选：．
5.
【解析】所有的“三段铁丝的长度”的情况共有：“，，”、“，，”、“，，”、“，，”，共计种，设构成三角形的事件为，
其中能构成三角形的情况有种情况：“，，”；“，，”
则所求的概率是．
故选：．
6.
【解析】由题意知，，
设，因，
则当时，，
即，化简得：，
因，故若确定，则唯一确定， D正确；
而当确定，由正弦函数的图象知，可能有两个值，即 B错误；
又因与没有关联，故 A，C错误．
故选：．
7.
【解析】解：法一：建立如图所示坐标系，
由题易知，设，，，，设，
，
法二：注意：，，，且
，，
，，
其中，，．
8.
【解析】
取的中点，则三棱锥的外接球是球，半径为，
因为是球的直径，在球的球面上，所以，
，，
过点作平面，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以，
在中，由余弦定理，
所以，，设，
因为平面，平面，所以，
，，
在中，由余弦定理，
解得，．
故选：．
9.
【解析】解：对于：令、，则，显然不满足，故 A错误；
对于：令、，则，，
所以，但是，故 C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故 B正确；
，又，
所以，故 D正确．
故选：
10.
【解析】已知事件，发生的概率分别为，，
对于，若与互斥，则，选项正确；
对于，若，则，选项错误；
对于，若，
则，有与相互独立，选项正确；
对于，若与相互独立，有，
则，选项正确．
故选：．
11.
【解析】解：对于，，，故 A正确；
对于，平均成绩为，故B错误
对于，由图得，成绩在的人数最多，从而众数为，故 C正确；
对于，由于，，
所以中位数位于，设中位数为，
则，解得，故D错误．
故选AC．
12.
【解析】解：由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球体积为，圆柱的体积为，
所以球与圆柱的体积之比为，故A正确；
过作于，则由题可得，
设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
则，，
所以平面截得球的截面面积最小值为，
当时，平面截得球的截面面积最大值为，故C错误；
由题可知四面体的体积等于，点到平面的距离
又，所以，故B错误；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，
设，则，，
所以
，
所以，故D正确．
13.
【解析】将这组数据从小到大排列为，，，，，，，，，，，，
又，所以第百分位数为．
故答案为：．
14.
【解析】解：因为且，
所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，为半径的圆，
所以，表示圆上的点和点的距离，
因为圆心到点的距离为，
，
故答案为：
15.
【解析】依题意，，
所以点到的距离．
故答案为：
16.
【解析】解：设塔高为，如下图所示，
由题意知：，，，平面，，
若在处的仰角最大，即最大，则取得最大值，
，当取得最小值时，最大，
设，则，，
，
解得：，，，
，
当时，最小，，
即若在处的仰角最大，则点到塔底的距离为．
故答案为：．
17.过点作于点，过点作于点，连接．
底面是边长为的正方形，、均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面垂直，
，
又平面平面，平面平面，
平面，平面，
，
则四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
同理，过点，分别作，，交，于点，，
连接，，，，由及题意可知，
，分别为，的中点，为长方体，
故该包装盒可看成由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成．
由底面是边长为的正方形可得：，
由线面垂直可知四棱锥的高为，
所求该包装盒的容积为
．
【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质以及组合体的体积求法，属于中档题．
18.
设“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，
“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，
则，，，
则他们能研制出疫苗的概率为
；
至多有一个机构研制出疫苗的概率为
．

【解析】利用对立事件概率公式和相互独立乘法概率公式求解即可；
利用对立事件概率公式、互斥事件的概率加法公式和相互独立乘法概率公式求解即可．
19.
因为，由余弦定理可得，
又，所以，
又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，
又，所以，
所以
，
所以．
由可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．

【解析】利用余弦定理求出，再判断为锐角，即可求出、，从而求出，即可得解；
依题意可得，将两边平方，结合及数量积的运算律求出、，再由面积公式计算可得．
20.
因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本人的身高平均数为，方差为，
女生样本人的身高平均数为，方差，
则，
，
故；
因，，则，即，
约为，由样本数据知，，为离群值，
剔除后，女生样本人的身高平均数为：；
由可得，，
则剔除后，女生样本人的身高的方差为：．

【解析】根据样本数据在范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数；
先利用加权平均数公式求出总样本的平均数，再利用混合样本的方差公式计算，最后对，进行估计即可；
先判断为离群值，再由平均数公式计算剩余人的身高平均数，利用方差公式求出，再由公式计算出方差．
21.
取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的大小为．
连接，由，得，而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面的法向量为，则
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．

【解析】借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小．
连接，过点作平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果．
利用向量法求二面角 常用方法：找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角．
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