上海市松江区2016届九年级上学期期末教学质量监控数学试题

松江区2016届九年级上学期期末教学质量监控
数学试题
一. 选择题
1. 如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ；
2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. ；
3. 在Rt△中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ；
4. 若四边形的对角线交于点，且有，则以下结论正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ；
5. 如果二次函数（）的图像
如图所示，那么（ ）
A. ，，；
B. ，，；
C. ，，；
D. ，，；
6. 是△一边上的一点（不与、、重合），过点的一条直线截△，
如果截得的三角形与△相似，我们称这条直线为过点的△的“相似线”
Rt△中，，，当点为的中点时，过点的△的
“相似线最多有几条？（ ）
A. 1条； B. 2条； C. 3条； D. 4条；
二. 填空题
7. 若，且，则 ；
8. 已知线段，，那么线段、的比例中项等于 ；
9. 二次函数的图像与轴的交点坐标为 ；
10. 在Rt△中，，如果，，那么 ；
11. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米；
12. 如图，直线∥∥，，，那么的值是 ；
13. 在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度 ；
14. 若点、是二次函数图像上的两点，那么与的大小关系是 （填、或）；
15. 将抛物线沿轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是 ；
16. 如图，已知∥，且经过△的重心，若，那么等于
；
17. 已知二次函数的图像经过、两点，则该二次函数的图像对称轴为直线 ；
18. 已知在△中，，，，点是边上一点，将△沿着直线翻折，点落在直线上的点处，则 ；
三. 解答题
19. 已知抛物线经过点，顶点为；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与轴交于点，连接、，求△的面积；
20. 如图，已知平行四边形，点、是边、的中点，设，；
（1）求向量（用向量、表示）；
（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21. 如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆的高度，他在教学楼一
楼的窗台处测得旗杆顶部的仰角为45°，他在二楼窗台处测得的仰角为31°，
已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆的高度；（结果保留两位小数）
（参考数据：，，）
22. 如图，已知△中，，，点在边上，，
求的值；
23. 已知如图，在△中，平分交于点，点在上，且
；
（1）求证：；
（2）求证：；
24. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐
标原点，已知点的坐标是，；
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点在轴上方的抛物线上，且，求点的坐标；
（3）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条
件的点的坐标；
25. 已知，等腰梯形中，∥，，，，
点是对角线上的一个动点，且，分别交射线和射线于点
和点；
（1）如图1，当点、重合时，求的长；
（1）如图2，当点在的延长线上时，设，，求关于的函数解
析式，并写出它的定义域；
（3）当线段时，求的值；
2016年松江区中考数学一模卷
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C
二、填空题
7.8 8.4 9.(0,3) 10.6 11.3 12.4 13.
14. 15. 16.4 17.x=2 18.
三、解答题
19．【解】（1）∵抛物线经过点，
∴,……………………………………………………（2分）
解得,……………………………………………………………（2分）
∴所求抛物线的表达式为;…………………………（1分）
（2）作AH⊥BM于点H,
∵由抛物线解析式可得,
点M的坐标为，点B的坐标为（2,0），………………………（2分）
∴BM=1，…………………………………………………………………（1分）
∵对称轴为直线，∴AH=3，……………………………………（1分）
∴△ABM的面积．……………………………………（1分）
第19题图
20．【解】（1）方法一：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ABDC，ADBC，AB=DC，AD=BC,……………………………（1分）
∵，,
∴，,…………………………（1分）
∵点M、N分别为DC、BC的中点,
，,…………（2分）
,……………………………………（1分）
方法二： ∵，,
,……………………………………………………（2分）
∵点M、N分别为DC、BC的中点,
,………………………………………………………（3分）
（2）作图．………………………………………………………………（4分）
结论：、是向量分别在、方向上的分向量．………（1分）
第20题图
21．【解】过点M的水平线交直线AB于点H,
由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，，AB=3.5,………………（3分）
设MH=x，则AH=x, , ……………………………（2分）
,…………………………………（3分）
x=8.75,…………………………………………………………………………（1分）
则旗杆高度（米）
答：旗杆MN的高度度约为9.75米．…………………………………………（1分）
22．【解】过D点作DH⊥BC于点H,…………………………………………（1分）
∵
∴DHAC,
∵
∴ ……（2分）
∵设DH=x，则AC=4 x , ……………………………………………………（2分）
∵，
∴ , …………………………………………………………………（2分）
∵
∵CH= , ……………………………………………………………………（2分）
∴.…………………………………（1分）
第22题图
23．【证明】
（1）∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,……………………………………………………………（1分）
∵,
,…………………………………………………………………（2分）
∴△EBD∽△DBC,……………………………………………………………（2分）
∴∠BDE=∠C;…………………………………………………………………（1分）
(2) ∵∠BDE=∠C,
∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE,………………………………………………（1分）
∴∠DBC =∠ADE,……………………………………………………………（1分）
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADE,………………………………………………………………（1分）
∴,…………………………………………………………（1分）
∴,
即.……………………………………………………………（2分）
第23题图
24．【解】(1)∵抛物线与y轴交于点C,
点C的坐标为,∴,
∵,
OA=1，即点A的坐标为，…（1分）
又点,
a=1，b =2, ………………………………（2分）
抛物线的函数表达式是；……………………………（1分）
（2）∵∠PAB=∠CAB，
∴,……………………………………………（1分）
∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为,
，得x=1（舍去）或x=6,……………………（2分）
当x=6时，y=21,
∴点P的坐标为（6，21）； …………………………………………………（1分）
（3）设点D的坐标为,
易得为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形,
∴点D在点C的上方, …………………………………………………………（1分）
∴∠DCB=45°,
∴∠ABC=∠DCB,
AB=4，BC=,DC=y+3, ………………………………………………（1分）
①如果则,
∴y=1，即点D（0，1）, ………………………………………………………（1分）
②如果则,
∴y=，即点D（0，）. ……………………………………………………（1分）
第24题图
25．【解】（1）作AH⊥BC于点H，
∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，
∴BH=AH=3，AB=，CH=6，
∴AC=，………………………………（1分）
∵ADBC,
∴∠DAP=∠ACB，又∠APE=∠B,
∴,……………………………………………………………（2分）
∴，即,
∴；…………………………………………………………………（1分）
第25题图1
（2）∵∠DAP=∠ACB，∠APE=∠B,
∴,……………………（1分）
∴,
∴，………………………………………………………………（1分）
∴, ……………………………………………………………（1分）
定义域：； ……………………………………………（1分）
（3）方法一：①当点G在线段CD上时，
作DMEP交AC于点M，
由（1）得AM=，∴CM=,……………………………………（1分）
DG=，CD=AB=,
∴CG=，
,
∴PM=,……………………………………………………………………（1分）
由得DE=,………………………………………………………（1分）
∴AE=,………………………………………………………………（1分）
第25题图2
②当点G在CD的延长线上时，
同①可得DE=, ………………………………………………………………（1分）
∴AE=；………………………………………………………………（1分）
第25题图3
方法二：当点G在线段CD上时，
ADBC,
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠EDC =∠BCD,
∠B=∠BCD=45°,∠EDC=∠B,
∠APE=∠B，
∴∠APE=∠ EDC,
∴∠EGD=∠EAP，
∴∠EGD=∠ACB，
∴△ACB∽△EGD,……………………………………………………………（1分）
∴ , ∴,
∴得DE=,……………………………………………………………………（1分）
∴AE=,………………………………………………………………（1分）
②当点G在CD的延长线上时，
, ……………………………………………………………（1分）
同①可得DE=,…………………………………………………………………（1分）
∴AE=.…………………………………………………………………（1分）
第25题图4