2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数是反比例函数，且当时，随着的增大而增大，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.反比例函数的图象如图所示，则的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
3.若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为，，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是( )
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.非课改已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知：如图，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点从点出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点也停止运动，如图，设运动时间为，则的值为时，：：．
A. B. C. D. 不存在
8.设一元二次方程的两根为，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10.一元二次方程，配方后可变形为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，的直角顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，斜边交轴于点，若轴，，面积为，则的值为______．
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为，点在轴上，点在反比例函数上的图象上，则的值为______．
13.若关于的方程的一个根是，则的值为______．
14.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ．
15.设，是方程的两个实数根，则的值为______．
16.已知关于的方程的两实根的平方和等于，则的值为______．
17.如图，点、分别在函数，的图象上，点、在轴上，若四边形为正方形，点在第二象限，则的坐标为______．
18.如图，过原点的直线交双曲线于、两点，点在轴上，且，若的面积为，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
若点与点关于轴对称，求的面积．
20.本小题分
如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，．
求反比例函数和所在直线的解析式；
将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？
21.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，．
求反比例函数和一次函数的表达式；
根据图象直接写出不等式的解集；
在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
22.本小题分
某种服装，平均每天可以销售件，每件赢利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要赢利元，每件应降价多少元？
23.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
若是该方程的根，求代数式的值．
24.本小题分
年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率；
从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？
25.本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：这个方程总有两个实数根；
若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
参考答案
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19.解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数解析式为；
点在的图象上，
，则，
把点，的坐标代入，得，解得
一次函数的表达式为；
直线交轴于点，
．
点与点关于轴对称，
．
，
轴．
．
20.解：所在直线的解析式为，其中点，将点坐标代入得：
，
解得：，
所在直线的解析式为；
，，
，
，
点在反比例函数第一象限的图象上，
；
反比例函数的解析式为；
当时，，
，
将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，由平移的性质得到，，
由题意得，
当时，四边形是平行四边形，
由知反比例函数的解析式为，
点在点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
解得，
即当为时，四边形是平行四边形．
21.解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，
，，
反比例函数解析式为，
一次函数图象过，，
，解得，
一次函数解析式为；
由图象可知，不等式的解集为：或．
在一次函数中，当时，；当时，，
，
，
，
设点大坐标为，
，
解得，
点．
22.解：设每件应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件应降价元．
23.证明：
，
不论为何值，该方程总有两个实数根；
解：把代入方程得，
即，
．
24.解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；
设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元．
25.证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为．
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