2024-2025学年内蒙古呼和浩特市武川三中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古呼和浩特市武川三中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.若是正比例函数，则的取值是( )
A. B. C. D. 任意实数
4.下列说法中正确的是( )
A. 已知，，是三角形的三边，则
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在中，，所以
D. 在中，，所以
5.下列说法中，不正确的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 对角线垂直的矩形是正方形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
6.某校规定学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占，小颖的平时、期中、期末成绩分别为分、分、分，则她本学期的学业成绩为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知直线：与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图将边长为的菱形纸片折叠，使点恰好落在对角线的交点处，若折痕则( )
A. B. C. D.
10.如图，已知正方形的边长为，是边上的动点，交于点，垂足为点，连接，下列说法：；；点运动的路径长为；的最小值其中正确的说法有个．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若与互为相反数，则的值是______．
12.一组数据，，的平均数为，另一组数据，，，，的唯一众数为，则数据，，，，的中位数为______．
13.如图，已知，，，，，则阴影部分的面积为______．
14.如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长是______．
15.已知为坐标原点，点在直线上，在轴上有一点使得的面积为，则直线与轴的交点坐标为______．
16.一次函数与的图象如图，则下列结论
；；当时，正确的是______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算．
；
配方法．
18.本小题分
如图，菱形的对角线交于点，，，求菱形的高．
19.本小题分
我校举行“中国梦校园好声音”歌手大赛，初一、初二年级组根据年级初赛成绩，各选出名选手参加学校总决赛，两个队各选出的名选手的决赛成绩如图所示．
根据图示填写表格；
平均数分 中位数分 众数分
初一组 ______
初二组 ______ ______
结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
求点和点的坐标；
轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的价格部分打折．
以单位：元表示商品原价，单位：元表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数解析式；
新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
22.本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．
求证：四边形为矩形；
若菱形的边长为，，求的长．
23.本小题分
如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒．
出发秒后，求线段的长．
为何值时，是等腰三角形？
当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.或
16.
17.解：
；
，
，
则，
．
．
，．
18.解：四边形是菱形，
，，，
，
菱形的面积，
．
19.
初一、初二组成绩的平均数相同，而初一组成绩的中位数大于初二组，
所以初一组的高分人数多于初二组，
初一组的成绩好；
，
，
，
初一组选手成绩较稳定．
20.解：令得：，
．
，
令得：，
解得：，
．
．
在中，，
，
，
．
设，则．
在中，，即，
解得：，
．
故C，；
存在，理由如下：
，
．
点在轴上，，
，即，
解得：，
点的坐标为或．
21.解：由题意可得，
，
当时，，
当时，，
由上可得，；
时，，即此时选择甲商场购物更省钱，
时，当时，得，即时选择甲商场购物更省钱，
故时，选择甲商场购物更省钱；
当时，得，即此时两家商场购物一样；
当时，得，即此时选择乙商场购物更省钱．
22.证明：四边形是菱形，
，，
且，
，
四边形、四边形都是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：在菱形中，，
，
在矩形中，．
在中，．
23.解：出发秒后，，，
；
当是等腰三角形时，只存在，
，
，
，
，
解得：；
分类讨论：当时，如图，
则．
，
，
，
．
，
，
，
；
当时，如图，
，
，
解得：；
当时，过点作于点，如图，
，
，
，
，
，
，
．
综上可知当或或时，为等腰三角形．
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