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2.2用配方法解一元二次方程
1．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
2..下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2y＝0
C．+2x+1＝0 D．x2＝1
【答案】D
【分析】利用一元二次方程定义进行分析即可．
【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【总结】一元二次方程的定义
3.顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】本题画出辅助线，连接、，证明连接菱形的各边中点所得到的是平行四边形，再证平行四边形的一个角为直角即可．
【解答】解：如图，连接、，相交于点，
四边形为菱形，、、、为菱形边上的中点，
，，
四边形为平行四边形．
根据菱形的性质可得菱形的对角线互相垂直，
故
所以四边形为矩形．
故选：．
4.如图，将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，若，则
A． B． C． D．
【分析】利用平行线的性质先求出，再根据折叠的性质求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数．
【解答】解：，
，．
，，
．
．
故选：．
5.下列选项中能使成为菱形的是
A． B． C． D．
【分析】由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、四边形是平行四边形，
，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
为菱形，故选项符合题意；
、四边形是平行四边形，，
为矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
为矩形，故选项不符合题意；
故选：．
6.如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为 ．
【分析】由折叠的性质得出，，，由证明，得出，，设，则，，求出、，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图所示：四边形是矩形，
，，，
根据题意得：，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
；
故答案为：2.4．
总结一：直接开方法解一元二次方程
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
总结二： 配方法解一元二次方程
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
总结三： 配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
1.（23-24九年级上·广东深圳·期中）将方程的两边同时开平方，
得 ，
即 或 ，
所以 ， ．
【答案】 ±3 3 －3 2 －1
【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可
【详解】∵
∴±3
∴3，-3
∴2，-1
【总结】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
2.（23-24九年级上·广东深圳·期中）用配方法解方程，补全解答过程．
．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得．
配方，得_________________________________，
即．
两边开平方，得__________________，
即，或．
所以，．
【答案】
【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】．
解：两边同除以3，得．
移项，得．
配方，得，
即．
两边开平方，得，
即，或．
所以，．
【总结】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．方程的解为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
∴，
．
故选D．
4.（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0
【答案】A
【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．
【详解】解：（A）移项可得，故选项A无解；
（B），即，故选项B有解；
（C）移项可得，故选项C有解；
（D），故选项D有解；
故选A．
【总结】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
5．小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
解：……①
……②
……③
，…④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可确定出错的步骤．
【详解】解：出错的步骤是③，
应该是在②步的基础上，两边同时加上4，
得，
故选：C．
6．一元二次方程经过配方变形为，则n的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．9
【答案】A
【分析】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键．利用配方法将方程变形得，即可求解．
【详解】解：，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，
故选：A．
7．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的解题步骤变形后即可得到答案．
【详解】解：、∵，
∴，故本选项错误；
、∵，
∴，故本选项正确；
、∵，
∴，故本选项错误；
、∵，
∴，故本选项错误；
故选：．
8.（23-24九年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．
【详解】解：
移项得：
配方得：
即
故选：B
9.（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：移项，得 第一步 二次项系数化为1，得 第二步 配方，得 第三步 由此可得 第四步 所以， 第五步
①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
②请写出你认为正确的解答过程．
【答案】①第三步；②详见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程变为，然后配方为，再开平方即可．
【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；
②，
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
由此可得，
所以，．
10．按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
（1）先将式子变形为，然后利用直接开平方法即可求解；
（2）先将式子变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解；
【详解】（1）解：，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
，
，．
1．已知，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果．
【详解】解：
因为，，
，
所以当，时，
原式有最小值4，
故选：D．
2．一元二次方程的解为： ．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，，
故答案为：，．
3．解关于的方程：．
【答案】当时，原方程无解，当时，或
【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，原方程无解，
当时，或．
4．阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
解：∵，
∵，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)若，则 ；
(2)求代数式的最值；
(3)若代数式的最大值为8，求k的值．
【答案】(1)2，1
(2)最小值为，无最大值
(3)
【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等．
（1）根据题意配方即可得到本题答案；
（2）先提出2，再配方即可求最值；
（3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2，1
（2）解：∵，
∵，
∴当时，有最小值，无最大值；
（3）解：∵，
即：，
∵，
∴，即代数式有最大值，
∵代数式的最大值为8，
∴当时，即，解得：．
5.（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：．
【答案】(1)7，2，，．
(2)，．
【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为7，2，，．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
【总结】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
6.（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．
【详解】解：移项得，
配方得，即，
所以原方程的解为：，．
7.某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x2+10x﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x2+10x﹣39＝0，所以有x（x+10）＝39．
展示1：阿尔 花拉子米构图法
如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x+10），宽为x，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．
（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x+ ）2＝39+ ；
展示2：赵爽构图法
如图3，用4个长都是（x+10），宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．
（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．
（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x2+2x＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．
【分析】（1）观察图形即可求解；
（2）先观察图形填空，再直接开平方即可求解；
（3）根据拼图方法直观地表示方程x2+2x＝3的配方结果．
【解答】解：（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为5；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x+5）2＝39+25；
故答案为：5，5，25；
（2）图3中，大正方形面积可以表示为（2x+10）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+100，
则（2x+10）2＝4×39+100，
（2x+10 ）2＝256，
2x+10＝±16，
解得x1＝3，x2＝﹣13．
故原方程的一个正的根为x＝3．
故答案为：2x+10，100，x＝3；
（3）如图所示：
【总结】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，根据示例和方程的特点构建几何图形并完成分割是解题的关键．
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．2m2+m﹣1＝0化为
B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5
C．2t2﹣3t﹣2＝0化为
D．3y2﹣4y+1＝0化为
【分析】各项中的方程变形得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、2m2+m﹣1＝0，变形得：m2m，
配方得：m2m，即（m）2，本选项正确；
B、x2﹣6x+4＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣4，
配方得：x2﹣6x+9＝5，即（x﹣3）2＝5，本选项正确；
C、2t2﹣3t﹣2＝0，变形得：t2t＝1，
配方得：t2t，即（t）2，本选项错误；
D、3y2﹣4y+1＝0，变形得：y2y，
配方得：y2y，即（y）2，本选项正确．
故选：C．
【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2.一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m的值分别是（ ）
A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8
【分析】方程配方后确定出所求即可．
【解答】解：方程x2﹣8x+c＝0，配方得：x2﹣8x+16＝16﹣c，
整理得：（x﹣4）2＝16﹣c，
由配方结果为（x﹣m）2＝11，
∴m＝4，c＝5．
故选：A．
【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．一元二次方程，用配方法变形可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法将原方程变形即可．
【详解】解：
配方得：，
即，
故选：C
4.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
【分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：∵a△b＝a2+b2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
故选：C．
【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
5．已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可．
【详解】解：，
，
故选：A．
6．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【答案】A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握总结是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可．
【详解】∵当时，该多项式的值为，
∴，
整理得，即
∵，
∴，即，
∴，
∴，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
7．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了配方法，把常数项移到右边，再两边加上16即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：
，
故，
故答案为：4．
8.（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵方程可以用直接开平方求解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【总结】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键．
9.（2020秋 福州期中））将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8x，则x＝ ．
【分析】解此题关键是理解题意：8x，即（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）＝8x，解此方程即可．
【解答】∵8x
∴（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）＝8x，
∴x2﹣4x+1＝0
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4
∴（x﹣2）2＝3
∴x＝2±．
【总结】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解题时还要注意审题，学会学以致用．
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案；
（2）①直接利用勾股定理得出AB的长，再利用配方法解方程得出答案；
②直接利用勾股定理得出等式求出答案．
【解答】解：（1）∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
则90°+2∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝45°．
（2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．
理由如下：
由勾股定理得：，
∴
解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，
（x+b）2＝a2+b2，
得，
∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得：，
则b2﹣ab＝0，
故b﹣a＝0，
整理得：．
【总结】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解等总结．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质及勾股定理．
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2.2用配方法解一元二次方程
1．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2..下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2y＝0
C．+2x+1＝0 D．x2＝1
3.顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4.如图，将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，若，则
A． B． C． D．
5.下列选项中能使成为菱形的是
A． B． C． D．
6.如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为 ．
总结一：直接开方法解一元二次方程
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
总结二： 配方法解一元二次方程
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
总结三： 配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
1.（23-24九年级上·广东深圳·期中）将方程的两边同时开平方，
得 ，
即 或 ，
所以 ， ．
2.（23-24九年级上·广东深圳·期中）用配方法解方程，补全解答过程．
．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得．
配方，得_________________________________，
即．
两边开平方，得__________________，
即，或．
所以，．
3．方程的解为（ ）
A． B．2 C． D．
4.（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
5．小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
解：……①
……②
……③
，…④
A．① B．② C．③ D．④
6．一元二次方程经过配方变形为，则n的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．9
7．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（ ）
A． B． C． D．
8.（23-24九年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9.（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：移项，得 第一步 二次项系数化为1，得 第二步 配方，得 第三步 由此可得 第四步 所以， 第五步
①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
②请写出你认为正确的解答过程．
10．按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
1．已知，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．一元二次方程的解为： ．
3．解关于的方程：．
4．阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
解：∵，
∵，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)若，则 ；
(2)求代数式的最值；
(3)若代数式的最大值为8，求k的值．
5.（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：．
6.（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解方程：．
7.某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x2+10x﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x2+10x﹣39＝0，所以有x（x+10）＝39．
展示1：阿尔 花拉子米构图法
如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x+10），宽为x，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．
（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为 ；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x+ ）2＝39+ ；
展示2：赵爽构图法
如图3，用4个长都是（x+10），宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．
（2）图3中，大正方形面积可以表示为（ ）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+ ，故可得原方程的一个正的根为 ．
（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x2+2x＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．2m2+m﹣1＝0化为
B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5
C．2t2﹣3t﹣2＝0化为
D．3y2﹣4y+1＝0化为
2.一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m的值分别是（ ）
A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8
3．一元二次方程，用配方法变形可得（ ）
A． B． C． D．
4.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
5．已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
7．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则m的值为 ．
8.（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．
9.（2020秋 福州期中））将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8x，则x＝ ．
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
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