1.1 第2课时 菱形的判定 课件(共24张PPT) 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

(共24张PPT)
1.1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
第一章 特殊的平行四边形
菱形的定义和性质？
说一说
复习导入
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
边：四条边相等，对边平行.
角：对角相等.
对角线：对角线互相垂直平分.
复习导入
菱形
平行四边形
满足？条件
你知道是怎样判断它
是一个菱形的吗？
汶川地震后，全国各界组织发起“绿丝带行动”号召人民为四川受灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是一个漂亮的菱形.
思考
合作探究
判断绿丝带重叠部分形成的图形是菱形，
可以根据菱形的定义：
A
B
C
D
一组邻边相等
C
B
A
D
平行四边形
菱形
还有其他判定方法吗？
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这个猜想吗？
操作
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明
A
D
B
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形.(菱形的定义)
O
归纳
C
B
A
D
O
A
B
C
D
O
AC⊥BD
平行四边形
菱形
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形.
符号语言：
操作
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
A
C
D
B
分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A、B 、C 、D四点.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
你能证明这个猜想吗？
所作的四边形四条边
相等，它是菱形吗？
A
D
B
C
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明
证明：
∵AB=CD， AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB= AD，
∴四边形ABCD是菱形.(菱形的定义)
归纳
C
B
A
D
A
B
C
D
四条边相等
四边形
菱形
定理：四条边相等的四边形是菱形.
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
符号语言：
元素 菱形的判定 几何语言
边
对角线
小结：菱形的判定
如：四边相等的四边形是菱形
如：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如图, ,
四边形 是平行四边形.
又 ,
四边形 是菱形.(菱形的定义)
如图, 四边形 是平行四边形,
又 ,
直线 是线段 的垂直平分线,
.
四边形 是菱形.(菱形的定义)
想一想
四边形
菱形
平行四边形
平行四边形的判定方法
现在你知道如何判定一个四边形为菱形了吗？
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边都相等
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！
沿线
对折
沿线再对折
沿线
剪下
展开
说一说这样做的道理？
折纸剪下的三角形展开后是四边相等的四边形，它是菱形.
证明：在△AOB中
∵ AB= ，OA=2，OB=1，
∴ AB2=OA2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形. (对角线垂直的平行四边形是菱形)
典型例题
例2 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB= ，OA=2，OB=1.求证： ABCD是菱形.
2
1
抢答
随堂练习
1.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为 6 cm 和 8 cm,求出它的周长和面积.
①作AC=8cm，取AC的中点O,
②作BD⊥AC，OB=OD=3cm，
③依次连接点A，B，C，D.
抢答
随堂练习
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)
A．AC⊥BD　　　　B．AB=AD
C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD
A
C
B
D
O
C
分析
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
D．先证△ABC是等腰三角形，得AB=BC ，再判定.
由题知四边形ABCD是平行四边形
1.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
[教材P7 习题1.2 第1题]
证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
又∵EF为 AC 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO = OC，
即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
又∵AC⊥EF，∴四边形 AFCE 是菱形.
2.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC与 BD 相交于点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
[教材P7 习题1.2 第2题]提示：中位线
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
∴HE∥AD且 HE= AD，FG∥BC且 FG = BC，
∴HE GF，即四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵AC⊥BD，∴四边形 EFGH 是菱形.
∥
=
∥
=
证明方法2：∵E、F为OA、OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
∴EF＝AB，
同理可得FG＝BC，GH＝CD，HE＝AD，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH为菱形．
3.如图，在四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD > CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C′ 处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连接 C′E. 你能确定四边形 CDC′E 的形状吗？证明你的结论.
[教材P7 习题1.2 第3题]
四边形 CDC′E 是菱形.
证明：连接 CC′ ，交 DE 于点 O.
由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D.
又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，
∴四边形 CDC′E 是菱形.
2.(☆)(中考真题)如图, 在梯形纸片 中, , 将纸片沿过点 的直线折 叠, 使点 落在 上的点 处, 折痕 交 于点 .
(1) 求证: 四边形 是菱形.
(2) 若 , 试判断四边形 的形状, 并加以证明.
(2) 解: 四边形 为平行四边形.
证明如下: , 又 ,
又 .
又 , 即 ,
四边形 为平行四边形.
(1)证明:依题意得.
判定定理：
菱形的判定方法
定义法：
四条边相等的四边形是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
课堂小结