2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形内接于，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点( )
A. B. C. D.
5.若，是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
6.将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线为( )
A. B. C. D.
7.据国家统计局发布的年国民经济和社会发展统计公报显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到当落在上时，的度数为( )
A. B.
C. D.
9.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
11.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，抛物线：与轴于点、点在点的左侧，与轴交于点将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为若四边形为矩形，则，应满足的关系式为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.抛物线的顶点坐标是______．
14.一元二次方程化为一般形式之后，则一次项的系数为______．
15.抛物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点坐标为______．
16.一元二次方程的解为______．
17.点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为 ．
18.九章算术中记载：“今有勾六步，股八步问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾短
直角边长为步，股长直角边长为步，则该直角三角形内切圆的直径是等于______步
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解一元二次方程：
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
将绕原点逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．
22.本小题分
如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
求证：；
若，，求的长．
23.本小题分
一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门忽略其他因素；
对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
24.本小题分
如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求线段的长．
25.本小题分
课堂上，数学老师组织同学们围绕关于的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
老师给出，求二次函数的最小值．
请你写出对应的函数解析式；
求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的值；
【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在取何值时，的最小值记录结果，并整理成如表：
的最小值
注：为的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现”
甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到的最小值”
乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时，的最小值先增大后减小，所以我猜想的最小值中存在最大值”
请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
26.本小题分
如图，在中，，，，为内部的一动点不在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接，，，，，．
求证：≌；
当取得最小值时，求证：；
如图，，，分别是，，的中点，连接，，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
参考答案
1.
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16.，
17.
18.
19.解：，
或，
所以，．
20.解：，
，
．
21.解：如图：即为所求；点的坐标．
如图：即为所求；点的坐标．
22.证明：如图，连接．
是圆的直径，
，
即．
又，
是边上的中线，
；
解：，
．
又，，
，
的长为：．
23.解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
当时，，
球不能射进球门．
设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得舍去或，
当时他应该带球向正后方移动米射门，才能让足球经过点正上方处．
24.证明：连接，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：是的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
．
25.解：，；
当时，取得最小值为：；
合理，理由：
，故函数有最小值，
当时，取得最小值，
故甲同学的说法合理；
正确，理由：
当时，，
，故有最大值，
当时，的最大值为：．
26.解：证明：由旋转的性质可得，，，，
是等边三角形，，
，
，
，
在与中，
≌；
证明：由可知是等边三角形，
，
当，，，共线时，最小，
，
≌，
，
，
，
；
的大小是定值，理由如下：
，，分别是，，的中点，
，，，，
≌，
，，
，
，，
为等边三角形，，
设，，
，，
，
，
，
，
的大小为定值，且．
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