2024-2025学年福建省福州市仓山区时代华威中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市仓山区时代华威中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面的点中，在函数的图象上的是( )
A. B. C. D.
2.如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.如图，在中，，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的半径为( )
A. B.
C. D.
5.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，顶点、、均在上，，则为( )
A.
B.
C.
D.
7.抛物线的顶点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染人，经过两轮传染后共有人感染了“甲流”则关于的方程为( )
A. B.
C. D.
9.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数在上有最大值，则常数的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为______．
12.已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为______．
13.若点与点关于原点对称，则 ______．
14.设二次函数是常数，且，如表，列出了与的部分对应值：
则方程的解是______．
15.如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，则这根圆柱形木材的半径是______．
16.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动点在点下方，且当的值最小时，点的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解一元二次方程：
；
．
18.本小题分
已知一次函数的图象经过点和点．
求一次函数的表达式．
求一次函数的图象与轴的交点坐标．
19.本小题分
如图，、、、是上的四点，求证：．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
画出将向下平移个单位后得到的，点，，的对应点分别为点，，；
画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点，，对应点分别为点，，并直接写出坐标．
21.本小题分
在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，平分，求的长．
22.本小题分
已知：关于的方程．
若方程总有两个实数根，求的取值范围；
若两实数根、满足，求的值．
23.本小题分
经营某种品牌的玩具，购进时的单价是元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是元时，销售量是件，而销售单价每涨元，就会少售出件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为元，销售量为件，销售该品牌玩具获得利润为元．
销售量为与关系式为______；
若商场获得了元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元；
若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
24.本小题分
如图，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
观察猜想：图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
25.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，点的坐标是．
求抛物线的解析式；
如图所示，是第一象限抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴与轴的交点，连接、、求四边形的面积的最大值，并求出此时点的坐标；
如图所示，在的条件下，点是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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13.
14.，
15.
16.
17.解：，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
，
或，
，．
18.解：把和代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
当时，由，
解得，
一次函数的图象与轴的交点坐标为．
19.证明：，
，
，
．
20.解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求，坐标为．
21.证明：四边形是平行四边形，
，
于点，点在上，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
解：，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长为．
22.解：
，
；
，，
由得，
解得：，，
，
．
23.；
依题意得：，
化简得：，
，
，，
，
销售价应定为元或元；
该品牌玩具销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，
，
解得：，
而，
，
开口向下，有最大值，
，
当时，随的增大而增大，
时，最大，
元，
答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是元．
24.解：，；
是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
在和中，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
由知是等腰直角三角形，
则最大时，的面积最大，
当点在的延长线上时，最大值为，
，
面积的最大值为．
25.解：对称轴为直线，点的坐标是，则的坐标是，
则，解得：，
抛物线解析式为：；
如图，作直线，过点作轴，交于点，
对称轴，
点的坐标是，
当时，，
点，直线解析式为：，
设的坐标为，则点的坐标是，
，
，
则，
则，
当时，有最大值，此时点的坐标是；
设点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，即，
解得：；
即点或；
当时，则，
解得：或，
则点或．
综上，点的坐标为：或或或．
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