2024-2025学年河南省信阳市光山县慧泉中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省信阳市光山县慧泉中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
3.若是方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
4.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线与轴交于，两点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
6.对于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象的开口向下 B. 当时，随的增大而减小
C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线
7.电影长津湖讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
点、在函数的图象上，则当，时， 与的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
9.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为( )
A. B.
C. D.
10.关于的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为______．
12.若一元二次方程可以配成的形式，则代数式的值为______．
13.已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线，请写出一个满足条件的二次函数的解析式______．
14.如图是二次函数的图象，则的值是______．
15.有一长方形条幅，长为，宽为，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积与花边宽度之间的函数关系式为______，自变量的取值范围为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.用适当的方法解下列方程：
；
．
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二次函数的图象如图所示．
求这个二次函数的解析式；
根据图象直接回答：当为何值时，．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：不论为何实数，方程总有实数根；
当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积．
19.本小题分
如图，已知抛物线经过，两点．
求抛物线的解析式和顶点坐标；
点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
20.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．
如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为平方厘米？
点、在移动过程中，是否存在某点时刻，使得的面积等于的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
21.本小题分
某商场要经营一种新上市的文具，进价为元件，试营销阶段发现：当销售单价元件时，每天的销售量是件，销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．
写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
商场的营销部结合上述情况，提出了、两种营销方案：
方案：该文具的销售单价高于进价且不超过元；
方案：每件文具的利润不低于元且不高于元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
22.本小题分
如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
求抛物线的表达式；
在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为，树高为，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
23.本小题分
如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为，动点，分别从点，出发向右移动，点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动．
请你在图中，画出秒时的线段；
如图，在动点，运动的过程中，当运动时间为何值时，？
在动点，运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间；若不能，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
16.解：，
，
开方得：，
解得：，；
，
移项，得，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，．
17.解：设解析式为．
图象过点，，，
，
解得，
二次函数的解析式为；
根据图象知，当或时，．
18.证明：
，
不论为何实数，方程总有实数根；
解：当时，方程为，
设方程的两根分别为，，
由根与系数关系得，
．
所以菱形的面积是．
19.解：把，代入，
得，解得
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
，，
，
设点的坐标为，
，
，
，
当时，解得，，此时点的坐标为或；
当时，方程没有实数解．
综上所述，此时点的坐标为或．
20.解：设秒钟后，可使的面积为平方厘米，由题意得：
，
或，
当秒或秒时，面积可为平方厘米；
不存在．
理由：设秒时，的面积等于的面积的一半，由题意得：
．
．
方程无解，所以不存在．
21.解：由题意得，销售量，
则
；
．
，
函数图象开口向下，有最大值，
当时，，
故当单价为元时，该文具每天的利润最大；
方案利润高．理由如下：
方案中：，
故当时，有最大值，
此时；
方案中：
故的取值范围为：，
函数，对称轴为直线，
当时，有最大值，
此时，
，
方案利润更高．
22.解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
当时，，，
，
小球能飞过这棵树；
小球在飞行的过程中离斜坡的高度，
小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
23.解：如图中，线段即为所求作．
由题意，，
解得．
如图中，作于，则，
在中，，即，
当时，，；
解得，或舍去；
当时，，；
解得，；
当时，，；
整理得，，；
无解．
综上所述，满足条件的的值为或．
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