15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
知识点1 同分母分式的加减
1(2023·广东中考)计算+的结果为 (C)
A. B. C. D.
2(2023·贵州中考)化简-结果正确的是 (A)
A.1 B.a C. D.-
3(2023·上海中考)化简:-的结果为 2 .
4化简:(1)(2023·湖北中考)-.
【解析】(1)原式===x-1.
(2)--.
【解析】(2)原式=+-
===1.
知识点2 异分母分式的加减
5计算-的结果为 (A)
A. B.
C. D.
6[教材再开发·P141练习T2(4)]计算-a+1的结果是 .
7新中考·过程性学习按要求填空:
小王计算-的过程如下:
解:-
=-……第一步
=-……第二步
=……第三步
=……第四步
=.……第五步
小王计算的第一步是 因式分解 (填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第 三 步开始出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
8计算:(1)(2023·衢州中考)+2.
【解析】(1)+2
=
=
=
=a.
(2)+-.
【解析】(2)原式=+-
=
=
=
=-.
知识点3 分式加减法的应用
9锅炉房储存了t天用的煤m吨,要使储存的煤比预定的多用d天,每天应该节约煤 吨.
10某瓶盖厂加工一批瓶盖,甲组与乙组合作需要a天完成,若甲组单独完成需要b天,则乙组单独完成需要 天.
11[数学与生活]李丽从家到学校的路程为s米,无风时她以平均a米/秒的速度骑车便能按时到达,当风速为b米/秒时,她若逆风按时到校,请用代数式表示她必须提前 秒出发.
12(2023·天津中考)计算-的结果等于 (C)
A.-1 B.x-1 C. D.
13设p=-,q=-,则p,q的关系是 (C)
A.p=q B.p>q
C.p=-q D.p
14(2024·聊城期中)若-=,则M,N的值分别为 (C)
A.M=2,N=3 B.M=,N=
C.M=3,N=2 D.M=,N=
15已知a+b=-3,ab=1,则+的值等于 7 .
16工程队计划修建一条长1 200米的公路,采取新的施工方式后,实际每天修建公路的长度比原计划增加15米,从而缩短了工期,设原计划每天修建公路x米,求:
(1)原计划修建这段公路需要多少天 实际修建这段公路用了多少天
【解析】(1)原计划每天修建x米,实际每天修建(x+15)米,则原计划修建这段公路需要天,实际修建这段公路用了天.
(2)实际修建这段公路的工期比原计划缩短了几天
【解析】(2)实际修建这段公路比原计划缩短了-=(天).
17新概念·抽象能力、应用意识在数学学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、试验、推理、抽象概括,发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律,由“特殊”到“一般”进行抽象概括的:22×23=25,23×24=27,22×26=28…
2m×2n=2m+n… am×an=am+n(m,n都是正整数).
我们亦知:<,<,<,<…
(1)请你根据上面的材料归纳出a,b,c(a>b>0,c>0)之间的一个数学关系式.
【解析】(1)根据所给的式子之间的关系,可以用a,b,c的数学关系式表示出一般的规律<,
验证:-===,
∵a>b>0,c>0,∴>0,
∴<;
(2)试用(1)中你归纳的数学关系式,解释下面生活中的一个现象:“若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”.
【解析】(2)∵<,
∴原来糖水中糖的质量分数小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数,则糖水更甜了.15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
知识点1 同分母分式的加减
1(2023·广东中考)计算+的结果为 ( )
A. B. C. D.
2(2023·贵州中考)化简-结果正确的是 ( )
A.1 B.a C. D.-
3(2023·上海中考)化简:-的结果为 .
4化简:(1)(2023·湖北中考)-.
(2)--.
知识点2 异分母分式的加减
5计算-的结果为 ( )
A. B.
C. D.
6[教材再开发·P141练习T2(4)]计算-a+1的结果是 .
7新中考·过程性学习按要求填空:
小王计算-的过程如下:
解:-
=-……第一步
=-……第二步
=……第三步
=……第四步
=.……第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第 步开始出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
8计算:(1)(2023·衢州中考)+2.
(2)+-.
知识点3 分式加减法的应用
9锅炉房储存了t天用的煤m吨,要使储存的煤比预定的多用d天,每天应该节约煤 吨.
10某瓶盖厂加工一批瓶盖,甲组与乙组合作需要a天完成,若甲组单独完成需要b天,则乙组单独完成需要 天.
11[数学与生活]李丽从家到学校的路程为s米,无风时她以平均a米/秒的速度骑车便能按时到达,当风速为b米/秒时,她若逆风按时到校,请用代数式表示她必须提前 秒出发.
12(2023·天津中考)计算-的结果等于 ( )
A.-1 B.x-1 C. D.
13设p=-,q=-,则p,q的关系是 ( )
A.p=q B.p>q
C.p=-q D.p14(2024·聊城期中)若-=,则M,N的值分别为 ( )
A.M=2,N=3 B.M=,N=
C.M=3,N=2 D.M=,N=
15已知a+b=-3,ab=1,则+的值等于 .
16工程队计划修建一条长1 200米的公路,采取新的施工方式后,实际每天修建公路的长度比原计划增加15米,从而缩短了工期,设原计划每天修建公路x米,求:
(1)原计划修建这段公路需要多少天 实际修建这段公路用了多少天
(2)实际修建这段公路的工期比原计划缩短了几天
17新概念·抽象能力、应用意识在数学学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、试验、推理、抽象概括,发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律,由“特殊”到“一般”进行抽象概括的:22×23=25,23×24=27,22×26=28…
2m×2n=2m+n… am×an=am+n(m,n都是正整数).
我们亦知:<,<,<,<…
(1)请你根据上面的材料归纳出a,b,c(a>b>0,c>0)之间的一个数学关系式.
(2)试用(1)中你归纳的数学关系式,解释下面生活中的一个现象:“若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”.第2课时 分式的混合运算
知识点1 分式的加减乘除混合运算
1化简(a-)÷的结果为 ( )
A.a-1 B.a+1
C. D.
2计算:÷= .
3[教材再开发·P146T6变式]计算:
(1)·-.
(2) (m-)·.
知识点2 分式的化简求值
4(2023·深圳中考)先化简,再求值: (+1)÷,其中x=3.
5(2023·菏泽中考)先化简,再求值: (+)÷,其中x,y满足2x+y-3=0.
知识点3 分式混合运算的实际应用
6[数学与生活]设一项工程的工程量为1,甲单独做需要a天完成,乙单独做需要b天完成,则甲、乙两人合作一天的工作量为 ( )
A.a+b B. C. D.+
7一辆货车送货上山,并按原路下山.上山速度为a千米/时,下山速度为b千米/时.则货车上、下山的平均速度为 千米/时. ( )
A.(a+b) B. C. D.
8化简÷的结果是 ( )
A. B. C.x+1 D.x-1
9化简(m-)÷的正确结果是 ( )
A.m-n B.m+n C. D.
10若代数式·的结果为2a-4,则整式A为 ( )
A.a+1 B.a-1
C.-a-1 D.-a+1
11一件工作甲单独做x小时完成,乙单独做y小时完成,甲、乙两人合作完成这件工作需 小时. ( )
A.x+y B.
C. D.
12已知m+n=-3,则分式÷(-2n)的值是 .
13(2023·江西中考)化简(+)·.下面是甲、乙两同学的部分运算过程:
(1)甲同学解法的依据是 ,乙同学解法的依据是 ;(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法分配律;④乘法交换律.
(2)请选择一种解法,写出完整的解析过程.
14(2023·威海中考)先化简(a-)÷,再从-315新趋势·运算能力、推理能力(1)观察下列各式:==-,==-,==-,由此可推导出= .
(2)请猜想出能表示(1)的特点的一般规律,用含字母m的等式表示出来(m表示整数);
(3)请直接用(2)中的规律计算:-+的结果.第2课时 分式的混合运算
知识点1 分式的加减乘除混合运算
1化简(a-)÷的结果为 (B)
A.a-1 B.a+1
C. D.
2计算:÷= -a .
3[教材再开发·P146T6变式]计算:
(1)·-.
【解析】(1)·-
=·-=-== 1.
(2) (m-)·.
【解析】(2) (m-)·
=·=·=m+1.
知识点2 分式的化简求值
4(2023·深圳中考)先化简,再求值: (+1)÷,其中x=3.
【解析】原式=·=·=,
当x=3时,原式==.
5(2023·菏泽中考)先化简,再求值: (+)÷,其中x,y满足2x+y-3=0.
【解析】(+)÷=·
=·
=2(2x+y),
∵2x+y-3=0,
∴2x+y=3,
∴原式=2×3=6.
知识点3 分式混合运算的实际应用
6[数学与生活]设一项工程的工程量为1,甲单独做需要a天完成,乙单独做需要b天完成,则甲、乙两人合作一天的工作量为 (D)
A.a+b B. C. D.+
7一辆货车送货上山,并按原路下山.上山速度为a千米/时,下山速度为b千米/时.则货车上、下山的平均速度为 千米/时. (D)
A.(a+b) B. C. D.
8化简÷的结果是 (A)
A. B. C.x+1 D.x-1
9化简(m-)÷的正确结果是 (A)
A.m-n B.m+n C. D.
10若代数式·的结果为2a-4,则整式A为 (A)
A.a+1 B.a-1
C.-a-1 D.-a+1
11一件工作甲单独做x小时完成,乙单独做y小时完成,甲、乙两人合作完成这件工作需 小时. (D)
A.x+y B.
C. D.
12已知m+n=-3,则分式÷(-2n)的值是 .
13(2023·江西中考)化简(+)·.下面是甲、乙两同学的部分运算过程:
(1)甲同学解法的依据是 ,乙同学解法的依据是 ;(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法分配律;④乘法交换律.
【解析】(1)甲同学的解法是:先把括号内两个分式通分后相加,再进行乘法运算,通分的依据是分式的基本性质.
乙同学的解法是:根据乘法的分配律,去掉括号后,先算分式的乘法,再算加法.
答案:② ③
(2)请选择一种解法,写出完整的解析过程.
【解析】(2)选择乙同学的解法,解析过程如下: (+)·
=·+·
=·+·=x-1+x+1
=2x.
14(2023·威海中考)先化简(a-)÷,再从-3【解析】原式=÷
=·
=,
要使分式有意义,则a≠0且a-1≠0且a+1≠0,
所以a不能为0,1,-1,取a=2,
当a=2时,原式==(答案不唯一).
15新趋势·运算能力、推理能力(1)观察下列各式:==-,==-,==-,由此可推导出= .
【解析】(1)==-;
答案:-
(2)请猜想出能表示(1)的特点的一般规律,用含字母m的等式表示出来(m表示整数);
【解析】(2)=-;
(3)请直接用(2)中的规律计算:-+的结果.
【解析】(3)原式=--2×(-)+-
=--++-=0.