第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
知识点1 用“HL”证明两个三角形全等
1如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是 (C)
A.AC=A'C',BC=B'C'
B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B'
D.∠B=∠B',BC=B'C'
2(2024·东莞质检)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= (B)
A.40° B.50° C.60° D.75°
3如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 AB=DC或AC=DB .
4如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.判定△ABD和△CDB全等的依据是 (D)
A.AAS B.SAS C.ASA D.HL
知识点2 直角三角形全等的判定方法的综合应用
5如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,
(1)若AC∥DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,根据 AAS .
(2)若AC∥DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,根据 ASA .
(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据 SAS .
(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据 SSS .
(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,根据 HL .
知识点3 直角三角形全等的判定方法的实际应用
6如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若DF=6 m,DE=8 m,AD=4 m,则BF等于 (A)
A.18 m B.16 m C.12 m D.10 m
7 新课标·社会主义先进文化杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下,如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息,标语CD的长度为 20 米.
8(2024·绍兴期中)两个直角三角形中:
①一锐角和斜边对应相等;
②斜边和一直角边对应相等;
③有两条边相等;
④两个锐角对应相等.
能使这两个直角三角形全等的是 (A)
A.①② B.②③
C.③④ D.①②③④
9如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC= (B)
A.28° B.59° C.60° D.62°
10如图,两根旗杆AC与BD相距12 m,某人从A点沿AB走向B,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线夹角为90°,且CM=MD.已知旗杆AC的高为3 m,该人的运动速度为0.5 m/s,求这个人的行走时间.
【解析】∵∠CMD=90°,∴∠CMA+∠DMB=90°,
又∵∠CAM=90°,∴∠CMA+∠ACM=90°,∴∠ACM=∠DMB,
在△ACM与△BMD中,
∴△ACM≌△BMD(AAS),
∴AC=BM=3 m,∴AM=AB-BM=12-3=9(m),
∴这个人的行走时间为9÷0.5=18(s).
答:这个人行走了18 s.
11新趋势·几何直观、推理能力如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在线段AC上运动,点Q在过A点且垂直于AC的射线AM上运动,PQ=AB,当P点运动到AC上什么位置时,△ABC和△QPA全等
【解析】①当P运动到AP=BC时,△ABC和△QPA全等,
∵∠C=∠QAP=90°,在Rt△ABC和Rt△QPA中,,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);
②当P运动到与C重合,即AP=AC时,△ABC和△QPA全等;
∵在Rt△ABC和Rt△PQA中,,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综合上述,当P运动到AP=BC或点P与C重合时,△ABC和△QPA全等.第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
知识点1 用“HL”证明两个三角形全等
1如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是 ( )
A.AC=A'C',BC=B'C'
B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B'
D.∠B=∠B',BC=B'C'
2(2024·东莞质检)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= ( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
3如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 .
4如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.判定△ABD和△CDB全等的依据是 ( )
A.AAS B.SAS C.ASA D.HL
知识点2 直角三角形全等的判定方法的综合应用
5如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,
(1)若AC∥DB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,根据 .
(2)若AC∥DB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,根据 .
(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据 .
(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据 .
(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,根据 .
知识点3 直角三角形全等的判定方法的实际应用
6如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若DF=6 m,DE=8 m,AD=4 m,则BF等于 ( )
A.18 m B.16 m C.12 m D.10 m
7 新课标·社会主义先进文化杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下,如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息,标语CD的长度为 米.
8(2024·绍兴期中)两个直角三角形中:
①一锐角和斜边对应相等;
②斜边和一直角边对应相等;
③有两条边相等;
④两个锐角对应相等.
能使这两个直角三角形全等的是 ( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①②③④
9如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC= ( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
10如图,两根旗杆AC与BD相距12 m,某人从A点沿AB走向B,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线夹角为90°,且CM=MD.已知旗杆AC的高为3 m,该人的运动速度为0.5 m/s,求这个人的行走时间.
11新趋势·几何直观、推理能力如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在线段AC上运动,点Q在过A点且垂直于AC的射线AM上运动,PQ=AB,当P点运动到AC上什么位置时,△ABC和△QPA全等
