12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
知识点1 用尺规作已知角的平分线及证明
1数学课上陈老师要求学生利用尺规作图,作一个已知角的平分线,并保留作图痕迹.学生小敏的作法是:如图,∠AOB是已知角,以O为圆心,任意长为半径作弧,与OA,OB分别交于N,M;再分别以N,M为圆心,大于MN的长为半径作弧,交于点C;作射线OC;则射线OC是∠AOB的平分线.小敏作图的依据是 ( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
2如图,已知△ABC,用尺规作出△ABC的角平分线BD.(保留作图的痕迹,不写作法)
知识点2 角平分线的性质
3 (2024·天津期中)如图,∠1=∠2,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,下列结论中错误的是 ( )
A.PD=OD B.PD=PE
C.∠DPO=∠EPO D.OD=OE
4(2024·台州期中)如图1,这是一个平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成,平板电脑放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.现量得托板长AB=10 cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时,点B到直线DE的距离是 ( )
A.3 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
5 (2024·齐齐哈尔期中)如图,OC平分∠AOB,PM=7 cm,∠BOC=30°,则∠AOB= ,PN= .
6如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
7(2024·盐城期中)如图,点P是∠ACB的平分线CD上一点,PE⊥BC于点E,点F为射线CA上一点.若PE=6,则PF长的最小值是 ( )
A.4 B.5.5 C.6 D.8
8如图,AD是△BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5
9[教材再开发·P52T7变式]
如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,EF过P点且与AB垂直,交AB于点F,交CD于点E,已知点P到AC的距离为3 cm,则EF= .
10如图,已知AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,且BC=DC.
(1)求证:BE=DF;
11新趋势·创新意识、几何直观在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD= ;
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,则S△ABD∶S△ACD= ;(用含m,n的代数式表示)
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= . 12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
知识点1 用尺规作已知角的平分线及证明
1数学课上陈老师要求学生利用尺规作图,作一个已知角的平分线,并保留作图痕迹.学生小敏的作法是:如图,∠AOB是已知角,以O为圆心,任意长为半径作弧,与OA,OB分别交于N,M;再分别以N,M为圆心,大于MN的长为半径作弧,交于点C;作射线OC;则射线OC是∠AOB的平分线.小敏作图的依据是 (D)
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
2如图,已知△ABC,用尺规作出△ABC的角平分线BD.(保留作图的痕迹,不写作法)
【解析】如图:
知识点2 角平分线的性质
3 (2024·天津期中)如图,∠1=∠2,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,下列结论中错误的是 (A)
A.PD=OD B.PD=PE
C.∠DPO=∠EPO D.OD=OE
4(2024·台州期中)如图1,这是一个平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成,平板电脑放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.现量得托板长AB=10 cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时,点B到直线DE的距离是 (B)
A.3 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
5 (2024·齐齐哈尔期中)如图,OC平分∠AOB,PM=7 cm,∠BOC=30°,则∠AOB= 60° ,PN= 7 cm .
6如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数;
【解析】(1)∵∠B=50°,∠C=70°,
∴∠BAC=60°,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠BAC=30°,∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,∴∠EDA=90°-∠BAD=60°.
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
【解析】(2)过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴DF=DE=3.又∵AB=10,AC=8,
∴S△ABC=×10×3+×8×3=27.
7(2024·盐城期中)如图,点P是∠ACB的平分线CD上一点,PE⊥BC于点E,点F为射线CA上一点.若PE=6,则PF长的最小值是 (C)
A.4 B.5.5 C.6 D.8
8如图,AD是△BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC的长是 (D)
A.3 B.4 C.6 D.5
9[教材再开发·P52T7变式]
如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,EF过P点且与AB垂直,交AB于点F,交CD于点E,已知点P到AC的距离为3 cm,则EF= 6 cm .
10如图,已知AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,且BC=DC.
(1)求证:BE=DF;
【解析】(1)∵AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,
∴CE=CF,∠BEC=∠F=90°,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL),∴BE=DF.
(2)若AB=21,AD=9,求DF的长.
【解析】(2)∵AC平分∠BAF,∴∠EAC=∠FAC,
∵∠AEC=90°,∴∠AEC=∠F,
在△ACE和△ACF中,
∴△ACE≌△ACF(AAS),
∴AE=AF,∴AB-BE=AD+DF,
∵AB=21,AD=9,BE=DF,
∴21-DF=9+DF,∴DF=6,∴DF的长是6.
11新趋势·创新意识、几何直观在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD= 1∶1 ;
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,则S△ABD∶S△ACD= m∶n ;(用含m,n的代数式表示)
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= 9 .
