第2课时 角的平分线的判定
1[教材再开发·P51T1变式]用三角尺可按如图方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.作法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是 ( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
2(2024·福州期中)如图,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DC=DB,∠BAC=50°,
则∠DAC= °.
3如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,AB=10,△ABD的面积为15,
AD是∠BAC的平分线吗 请说明理由.
4[教材再开发·P51T3拓展]已知:如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,且CD,BE相交于O点.
求证:(1)当∠1=∠2时,OB=OC;
(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
练易错 出现三角形时,既有内角的平分线,也有外角的平分线,忘记分类讨论
5[数学与生活]如图,直线l,l',l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 ( )
A.一处 B.两处
C.三处 D.四处
6如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB.下列条件中:
①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;
④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7(2024·荆州期中)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=5,连接BD,BD⊥CD,垂足是D且∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= .
9如图,已知△ABC的周长是18,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是 .
10如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.
(1)求证:OC平分∠MON;
(2)若AD=3,BO=4,求AO的长.
11新趋势·几何直观、推理能力如图①,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.
(1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.
(2)如图②,连接OA,求证:AO平分∠BAC.
(3)如图③,若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P,求证:OC⊥PC.第2课时 角的平分线的判定
1[教材再开发·P51T1变式]用三角尺可按如图方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.作法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是 (D)
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
2(2024·福州期中)如图,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DC=DB,∠BAC=50°,
则∠DAC= 25 °.
3如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB.若CD=3,AB=10,△ABD的面积为15,
AD是∠BAC的平分线吗 请说明理由.
【解析】AD是∠BAC的平分线,理由如下:
∵AB=10,S△ABD=15,DE⊥AB,
∴DE==3,∴DE=CD,
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴AD是∠BAC的平分线.
4[教材再开发·P51T3拓展]已知:如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,且CD,BE相交于O点.
求证:(1)当∠1=∠2时,OB=OC;
【证明】(1)∵∠1=∠2,OE⊥AC,OD⊥AB,
∴OE=OD(角平分线上的点到角两边距离相等).
在△OEC与△ODB中,
∴△OEC≌△ODB(ASA),
∴OB=OC.
(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
【证明】(2)∵OE⊥AC,OD⊥AB,
∴∠OEC=∠ODB=90°,
在△OEC与△ODB中,
∴△OEC≌△ODB(AAS).∴OE=OD.
∴∠1=∠2(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).
练易错 出现三角形时,既有内角的平分线,也有外角的平分线,忘记分类讨论
5[数学与生活]如图,直线l,l',l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (D)
A.一处 B.两处
C.三处 D.四处
6如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB.下列条件中:
①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;
④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分线的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7(2024·荆州期中)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=5,连接BD,BD⊥CD,垂足是D且∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是 (D)
A.2 B.3 C.4 D.5
8如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= 150° .
9如图,已知△ABC的周长是18,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是 27 .
10如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.
(1)求证:OC平分∠MON;
【解析】(1)∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠ADC=∠CEB=90°,
在Rt△ADC和Rt△BEC中,
∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),∴CD=CE,
∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴OC平分∠MON;
(2)若AD=3,BO=4,求AO的长.
【解析】(2)∵Rt△ADC≌Rt△BEC,AD=3,∴BE=AD=3,∵BO=4,
∴OE=OB+BE=4+3=7,
∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠CDO=∠CEO=90°,
在Rt△DOC和Rt△EOC中,
∴Rt△DOC≌Rt△EOC(HL),∴OD=OE=7,
∵AD=3,∴OA=OD+AD=7+3=10.
11新趋势·几何直观、推理能力如图①,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.
(1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.
【解析】(1)∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°,
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=115°;
(2)如图②,连接OA,求证:AO平分∠BAC.
【解析】(2)过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,如图,
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,
∴OD=OE,OD=OF,∴OE=OF,
∴AO平分∠BAC;
(3)如图③,若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P,求证:OC⊥PC.
【解析】(3)∵CO平分∠ACB,CP平分∠ACD,
∴∠ACO=∠ACB,∠ACP=∠ACD,
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=∠ACB+∠ACD
=∠BCD=×180°=90°,∴OC⊥CP.
