第十二章 全等三角形
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2024·湛江期中)如图,点B,F,E,D共线,∠B=∠D,BE=DF,添加一个条件,不能判定△ABF≌△CDE的是 (C)
A.AF∥CE B.∠A=∠C
C.AF=CE D.AB=CD
2如图,△ABD≌△ECB,若AD=5,DE=6,则BC的长为 (C)
A.9 B.10 C.11 D.12
3(2024·石家庄期中)两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放,记两把直尺的接触点为P,其中一把直尺边缘和射线OA重合,另一把直尺的下边缘与射线OB重合,连接OP并延长.若∠BOP=28°,则∠AOB的度数为 (B)
A.62° B.56° C.52° D.46°
4如图所示,AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE,B,D,E在同一直线上,∠1=22°,∠2=30°,则∠3的度数为(B)
A.42° B.52° C.62° D.72°
5(2024·焦作期中)如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=4.2,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是 (C)
A.4.2 B.5.1 C.3.6 D.8
6如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在 (C)
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
7在△ABC和△DEF中,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有 (C)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
8如图,在平面直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,点D的坐标是(0,-3),那么点D到AB的距离是(A)
A.3 B.1.5 C.2 D.1
9如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若=28,则DE的长为 (C)
A.2 B.3 C.4 D.5
10如图所示,∠E=∠F=90°,AE=AF,AB=AC,下列结论:①∠FAN=∠EAM;②EM=FN;③CD=DN;④△ACN≌△ABM.其中正确的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11如图,△ABE≌△ACD,∠B=28°,∠CAE=18°.则∠ADC= 46° .
12如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F,请你添加一个适当的条件: AB=BC(答案不唯一) ,使△ADB≌△CEB.
13(2024·盐城期中)如图所示是一个3×3的正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2的度数是 45 °.
14如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠DBE= 25° .
15如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交边AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积为 30 .
16(2023·重庆中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 3 .
17已知△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-5,0),C(-1,0).若△DBC与△ABC全等,则D点的坐标为 (-4,3)或(-2,-3)或(-4,-3) .
18如图,在△ABD和△ACE中,AB=AD,AC=AE,AB>AC,∠DAB=∠CAE=50°,连接BE,CD交于点F,连接AF.下列结论:①BE=CD;②∠EFC=50°;③AF平分∠DAE;④点A到DC和BE的距离相等.其中正确的为 ①②④ (填序号).
三、解答题(共46分)
19 (10分)(2023·广州中考)如图,B是AD的中点,BC∥DE,BC=DE.求证:∠C=∠E.
【证明】∵B是AD的中点,∴AB=BD.
∵BC∥DE,∴∠ABC=∠D,
在△ABC和△BDE中,,
∴△ABC≌△BDE(SAS),∴∠C=∠E.
20(10分)如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:DE=DF.
【证明】连接AD,在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC,
又∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).
21(12分)如图,A,D,E三点在同一条直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)求证:BD=DE+CE;
【解析】(1)∵△BAD≌△ACE,∴AD=CE,BD=AE,
∵A,D,E三点在同一直线上,∴AE=AD+DE,∴BD=CE+DE;
(2)请你猜想△ABD满足什么条件时,BD∥CE.
【解析】(2)假如BD∥CE,则∠BDE=∠E,
∵△BAD≌△ACE,∴∠ADB=∠E,∴∠ADB=∠BDE,
又∵∠ADB+∠BDE=180°,∴∠ADB=∠BDE=90°,
∴当∠ADB=∠E=90°时,BD∥CE.
22(14分)(1)如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF;
【解析】(1)∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°,∴∠ABD=∠CAF,
在△ABD和△CAF中,,
∴△ABD≌△CAF(AAS);
(2)如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
【解析】(2)∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,
在△ABE和△CAF中,,
∴△ABE≌△CAF(ASA);
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ACF与△BDE的面积之和.
【解析】(3)∵△ABC的面积为15,CD=2BD,∴△ABD的面积是×15=5,
由(2)得△ABE≌△CAF,
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和,即等于△ABD的面积为5.
【附加题】(10分)
如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8 cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以2 cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以1 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t(s).
(1)求证:AB∥DE.
【解析】(1)在△ABC和△EDC中,,
∴△ABC≌△EDC(SAS),∴∠A=∠E,∴AB∥DE;
(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示).
【解析】(2)当0≤t≤4时,AP=2t cm,
当4∴AP=8-(2t-8)=(16-2t) cm,∴线段AP的长为2t cm或(16-2t) cm;
(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值.
【解析】(3)根据题意得DQ=t cm,
则EQ=(8-t) cm,
由(1)得:∠A=∠E,ED=AB=8 cm,
在△ACP和△ECQ中,,
∴△ACP≌△ECQ(ASA),∴AP=EQ,
当0≤t≤4时,2t=8-t,解得t=;
当4综上所述,当线段PQ经过点C时,t的值为或8.第十二章 全等三角形
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2024·湛江期中)如图,点B,F,E,D共线,∠B=∠D,BE=DF,添加一个条件,不能判定△ABF≌△CDE的是 ( )
A.AF∥CE B.∠A=∠C
C.AF=CE D.AB=CD
2如图,△ABD≌△ECB,若AD=5,DE=6,则BC的长为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
3(2024·石家庄期中)两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放,记两把直尺的接触点为P,其中一把直尺边缘和射线OA重合,另一把直尺的下边缘与射线OB重合,连接OP并延长.若∠BOP=28°,则∠AOB的度数为 ( )
A.62° B.56° C.52° D.46°
4如图所示,AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE,B,D,E在同一直线上,∠1=22°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.42° B.52° C.62° D.72°
5(2024·焦作期中)如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=4.2,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是 ( )
A.4.2 B.5.1 C.3.6 D.8
6如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在 ( )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
7在△ABC和△DEF中,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
8如图,在平面直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,点D的坐标是(0,-3),那么点D到AB的距离是( )
A.3 B.1.5 C.2 D.1
9如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若=28,则DE的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10如图所示,∠E=∠F=90°,AE=AF,AB=AC,下列结论:①∠FAN=∠EAM;②EM=FN;③CD=DN;④△ACN≌△ABM.其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11如图,△ABE≌△ACD,∠B=28°,∠CAE=18°.则∠ADC= .
12如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F,请你添加一个适当的条件: ,使△ADB≌△CEB.
13(2024·盐城期中)如图所示是一个3×3的正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠1+∠2的度数是 °.
14如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠DBE= .
15如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交边AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积为 .
16(2023·重庆中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
17已知△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-5,0),C(-1,0).若△DBC与△ABC全等,则D点的坐标为 .
18如图,在△ABD和△ACE中,AB=AD,AC=AE,AB>AC,∠DAB=∠CAE=50°,连接BE,CD交于点F,连接AF.下列结论:①BE=CD;②∠EFC=50°;③AF平分∠DAE;④点A到DC和BE的距离相等.其中正确的为 (填序号).
三、解答题(共46分)
19 (10分)(2023·广州中考)如图,B是AD的中点,BC∥DE,BC=DE.求证:∠C=∠E.
20(10分)如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:DE=DF.
21(12分)如图,A,D,E三点在同一条直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)求证:BD=DE+CE;
(2)请你猜想△ABD满足什么条件时,BD∥CE.
22(14分)(1)如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF;
(2)如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ACF与△BDE的面积之和.
【附加题】(10分)
如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8 cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以2 cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以1 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t(s).
(1)求证:AB∥DE.
(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示).
(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值.
