第2课时 作轴对称图形的对称轴
1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是 ( )
A.∠A的平分线 B.AC边的中线
C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
2如图,是求作线段AB中点的作图痕迹,则下列结论不一定成立的是 ( )
A.∠B=45° B.AE=EB
C.AC=BC D.AB⊥CD
3 如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15,则△ACD的周长为 .
4[教材再开发·P6练习4T1补充]找出下列图形的所有的对称轴,并一一画出来.
5(2024·常州期中)已知△ABC(AC6[教材再开发·P66T12变式]现有三个村庄A,B,C位置如图所示,线段AB,BC,AC分别是连通两个村庄之间的公路.现要修一个水站P,使水站不仅到村庄A,C的距离相等,并且到公路AB,AC的距离也相等,请在图中作出水站P的位置.
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
7新趋势·几何直观请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称轴m;
(2)如图②,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段垂直平分线的性质及判定
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1(2024·邯郸期中)如图,点P是线段AB垂直平分线上的点,PA=6 cm,则线段PB的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
2如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC与于点E,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE交AB于点D,连接DC,若AB=3.7,AC=2.3,则△ADC的周长是 .
4如图,△ABC中,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,G,若△ADF的周长是16,求BC的长.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
5如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且AD=DC,则点D在 ( )
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
6如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
知识点3 尺规作图:经过直线外一点作已知直线的垂线
7如图,已知钝角三角形ABC,其中∠A是钝角,求作AC边上的高BH.
8如图,△ABC中,AD是BC的垂直平分线,则下列结论中不一定正确的是 ( )
A.∠B=∠C B.AB=AC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
9新课标·社会主义先进文化(2024·盐城期中)第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行.“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”.如图,若记北京为A地,莫斯科为B地,雅典为C地,若想建立一个货物中转仓,使其到A,B,C三地的距离相等,则中转仓的位置应选在 ( )
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
10 (2024·十堰期中)如图,∠BAC=120°.若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是 .
11[教材再开发·P93T10拓展]如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
(1)试说明AD垂直平分EF;
(2)若AB=8,AC=6,S△ABC=28,求DE的长.
12新中考·实践探究课本再现.
如图3,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现 可以发现,点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.
定理证明:
(1)为了证明该性质,珍珍画出了图形,请你帮她写出“已知”和“求证”和证明过程.
知识应用:
(2)如图2,在△ABC中,BC=8,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,与△ABC的交点分别为D,E,F,G,连接AD,AF,求△ADF的周长.13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段垂直平分线的性质及判定
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1(2024·邯郸期中)如图,点P是线段AB垂直平分线上的点,PA=6 cm,则线段PB的长为(C)
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
2如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC与于点E,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为 (B)
A.25° B.30° C.35° D.40°
3如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE交AB于点D,连接DC,若AB=3.7,AC=2.3,则△ADC的周长是 6 .
4如图,△ABC中,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,G,若△ADF的周长是16,求BC的长.
【解析】∵AB的垂直平分线分别交BC,
AB于点D,E,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,G,
∴AD=BD,AF=CF,
∵△ADF的周长是16,∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF=16.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
5如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且AD=DC,则点D在 (A)
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
6如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
【证明】连接BC,
∵AB=AC,DB=DC,∴A在线段BC的垂直平分线上,D在线段BC的垂直平分线上,
即AD是线段BC的垂直平分线,
∵E在直线AD上,∴BE=CE.
知识点3 尺规作图:经过直线外一点作已知直线的垂线
7如图,已知钝角三角形ABC,其中∠A是钝角,求作AC边上的高BH.
【解析】如图,线段BH即为所求.
8如图,△ABC中,AD是BC的垂直平分线,则下列结论中不一定正确的是 (D)
A.∠B=∠C B.AB=AC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
9新课标·社会主义先进文化(2024·盐城期中)第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行.“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”.如图,若记北京为A地,莫斯科为B地,雅典为C地,若想建立一个货物中转仓,使其到A,B,C三地的距离相等,则中转仓的位置应选在 (A)
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
10 (2024·十堰期中)如图,∠BAC=120°.若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是 60° .
11[教材再开发·P93T10拓展]如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
(1)试说明AD垂直平分EF;
(2)若AB=8,AC=6,S△ABC=28,求DE的长.
【解析】(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
∴DE=DF,
在Rt△AED与Rt△AFD中,,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,∵DE=DF,∴AD垂直平分EF;
(2)∵DE=DF,∴S△ABD+S△ACD=AB·ED+AC·DF=DE(AB+AC)=28,
∵AB+AC=14,∴DE=4.
12新中考·实践探究课本再现.
如图3,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现 可以发现,点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.
定理证明:
(1)为了证明该性质,珍珍画出了图形,请你帮她写出“已知”和“求证”和证明过程.
知识应用:
【解析】(1)已知:如图1,直线l⊥AB,垂足为C,AC=BC,
点P在直线l上,求证:PA=PB.
证明:∵直线l⊥AB,∴∠ACP=∠BCP=90°.
在△APC与△BPC中,,
∴△APC≌△BPC(SAS),∴PA=PB;
(2)如图2,在△ABC中,BC=8,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,与△ABC的交点分别为D,E,F,G,连接AD,AF,求△ADF的周长.
【解析】(2)∵DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,∴AD=BD,AF=CF,
∴△ADF的周长为:AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=8.第2课时 作轴对称图形的对称轴
1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是 (D)
A.∠A的平分线 B.AC边的中线
C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
2如图,是求作线段AB中点的作图痕迹,则下列结论不一定成立的是 (A)
A.∠B=45° B.AE=EB
C.AC=BC D.AB⊥CD
3 如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15,则△ACD的周长为 23 .
4[教材再开发·P6练习4T1补充]找出下列图形的所有的对称轴,并一一画出来.
【解析】所画对称轴如图所示:
5(2024·常州期中)已知△ABC(AC6[教材再开发·P66T12变式]现有三个村庄A,B,C位置如图所示,线段AB,BC,AC分别是连通两个村庄之间的公路.现要修一个水站P,使水站不仅到村庄A,C的距离相等,并且到公路AB,AC的距离也相等,请在图中作出水站P的位置.
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
【解析】如图所示,点P即为所求.
7新趋势·几何直观请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称轴m;
【解析】(1)如图①,对称轴m即为所求;
(2)如图②,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.
【解析】(2)如图②,BC边的垂直平分线n即为所求.
