13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点1 等腰三角形的性质1
1(2023·宿迁中考)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是(C)
A.70° B.45° C.35° D.50°
2(2023·眉山中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 (C)
A.70° B.100°
C.110° D.140°
3在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,一个含30°角的三角板如图放置(一直角边与BC边重合,斜边经过△ABC的顶点A),则∠α的度数为 (B)
A.15° B.20° C.30° D.40°
4如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ADB的度数为 60° .
练易错 未对三角形的形状分类讨论
5等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为 69°或21° .
知识点2 等腰三角形的性质2
6(2024·雅安期中)已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是 (B)
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
7 (2023·吉林中考)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为 55° .
练易错 忽视对已知角是底角或顶角进行分类讨论,同时忽视满足三角形内角和定理
8等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角的度数为 80°或50° .
9(2024·徐州期中)如图,△ABC中,AB=AC,两条角平分线BD,CE相交于点O.
(1)OB与OC相等吗 请说明你的理由;
【解析】(1)OB=OC.∵AB=AC,两条角平分线BD,CE相交于点O,
∴∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC.
(2)若连接AO,并延长AO交BC边于F点.你有哪些发现请写出两条,并就其中的一条发现写出你的发现过程.
【解析】(2)AF是∠BAC的平分线,AF⊥BC,
∵OA=OA,OB=OC,AB=AC,
∴△ABO≌△ACO(SSS),
∴∠BAO=∠CAO,
即AF是∠BAC的平分线,
∵△ABC是等腰三角形,且AF是∠BAC的平分线,
∴AF⊥BC.
10如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=CD,∠BAD=20°,则∠C的度数是 (B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
11如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD.则下列结论:①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③BC=AD;④OD=2CD.正确的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12新课标·数学文化(2024·江门期中)“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠DCE的度数是 50° .
13 (2024·北京期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点E是线段BC延长线上一点,连接AE,点C在AE的垂直平分线上,若DE=6,则△ABC的周长是 12 .
14新中考·实践探究问题情境:数学活动课上,张老师出示了一个问题:
如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,连接AD,BE平分∠ABC交AD于点E,点F是AC上一点,连接FE并延长交BC于点G,∠AEF=∠ABD,求证:
∠BAD=∠CGF.
(1)独立思考:求证:∠BAD=∠CGF.
(2)实践探究:在同学们独立完成后,张老师又提出了新问题,求证DG=AF,张老师的问题引发了同学们的思考,各小组进行了积极的讨论,仍不得其解.张老师给出提示:“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路.”“善思小组”的同学茅塞顿开,在对上述问题进行特殊化研究之后发现,如图2,当AB=BD时,很容易发现AE=DE,请你完成图2特殊情况下的证明DG=AF.
(3)问题解决:相信你从上面也得到了启发,参考“善思小组”的思路,请你在图1中完成张老师的问题,证明DG=AF.
【解析】(1)由题意知,∠ADC=∠BAD+∠ABD=∠CGF+∠GED,
∵∠GED=∠AEF=∠ABD,
∴∠BAD=∠CGF;
(2)∵AB=BD,BE平分∠ABC,AB=AC,
∴∠BAD=∠BDA,AE=DE,∠ABC=∠C,
如图,延长GE到M,使EM=GE,连接AM,
在△AEM和△DEG中,,
∴△AEM≌△DEG(SAS),
∴AM=DG,∠AMG=∠DGM,
∵∠BAD=∠CGF,∠BAD=∠BDA,
∴∠CGF=∠BDA,
∵∠CGF+∠C+∠CFG=180°=∠BDA+∠ABD+∠BAD,
∴∠CFG=∠BAD=∠CGF,
∴∠AFM=∠CFG=∠CGF=∠AMG,
∴AM=AF=DG,∴DG=AF;
(3)如图,在AB上截取BH,使BH=BG,连接EH,延长AE到N,使EN=EF,连接GN,
∵BE平分∠ABC,
∴∠HBE=∠GBE,
∵BH=BG,∠HBE=∠GBE,BE=BE,
∴△HBE≌△GBE(SAS),
∴HE=GE,∠BHE=∠BGE,
∴∠AHE=∠CGF,∵∠BAD=∠CGF,
∴∠AHE=∠BAD,
∴AE=HE=GE,
∵AE=GE,∠AEF=∠GEN,EF=EN,
∴△AEF≌△GEN(SAS),
∴AF=GN,∠AFE=∠GNE,
∵∠CGF+∠C+∠CFG=180°=∠DGE+∠GED+∠GDE,
∠GED=∠AEF=∠ABD=∠C,
∴∠CFG=∠GDE,
∴∠AFG=∠CDE=∠GDN,
∴∠GNE=∠GDN,∴GD=GN=AF,∴DG=AF.第3课时 等腰三角形与全等的综合
1如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是 (D)
A.45° B.70° C.65° D.50°
2如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,
∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 .
3如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.
【证明】∵△ABC是等腰三角形,
∴∠EBC=∠DCB,
在△EBC与△DCB中,,
∴△EBC≌△DCB(SAS),∴CE=BD.
4 (2024·河源期末)已知:如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC垂足为E,DF⊥BC垂足为F,且ED=FD,求证:△ABC是等腰三角形.
【证明】∵D是AB的中点,
∴AD=BD,
在Rt△ADE和Rt△BDF中,,
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),∴∠A=∠B,
∴AC=BC,即△ABC是等腰三角形.
5如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ADE=∠ADF,求证:DE=DF.
【证明】∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ADE和△ADF中,,
∴△ADE≌△ADF(ASA),∴DE=DF.
6 (2024·宿迁期中)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,
∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
(1)求证:BA=BC;
【证明】(1)在△ABD和△CBE中,,
∴△ABD≌△CBE(AAS),∴BA=BC;
(2)求证:△AFC为等腰三角形.
【证明】(2)∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCE,∴∠FAC=∠FCA,
∴FA=FC,∴△AFC为等腰三角形.
7如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.下列四个结论中:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF.其中正确的结论共有 (A)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8如图,已知S△ABC=24 m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC= 12 m2.
9在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,且BD=CE,连接BE,CD相交于点O.
(1)求证:OB=OC;
【解析】(1)∵AB=AC,
∴∠ECB=∠DBC,
在△DBC与△ECB中,,
∴△DBC≌△ECB(SAS),
∴∠DCB=∠EBC,
∴OB=OC;
(2)如图2,若∠BAC=36°,BE平分∠ABC,过点A作AF∥CD交BE的延长线于点F,直接写出图中与EF相等的线段.
【解析】(2)与EF相等的线段有:CE,CO,BO,BD,
理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ACB=∠ABC=72°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠ABE=36°,∴∠ABE=∠BAE=36°,
∴EA=EB,∵OB=OC,∴∠OCB=∠CBO=36°,
∴∠BOC=180°-36°-36°=108°,∴∠BOD=∠COE=72°,
∵∠OCE=72°-36°=36°,∴∠BDO=∠CEO=180°-72°-36°=72°,
∴BO=BD,CO=CE,∵AF∥CD,∴∠F=∠BOD=72°,
∵∠AEF=∠CEO=72°,∴∠F=∠AEF=72°,
在△BCE和△AFE中,,
∴△BCE≌△AFE(AAS),∴EC=EF,
∴BO=BD=CO=CE=EF.
∴与EF相等的线段有:CE,CO,BO,BD.
10新考向·推理能力
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边BC上(点D不与点B,点C重合),
作∠ADE=∠B,DE交边AC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CDE;
【解析】(1)∵∠ADE=∠B,∠BAD+∠B=∠ADC,∠CDE+∠ADE=∠ADC,
∴∠BAD=∠CDE;
(2)若DC=AB,求证:△ABD≌△DCE;
【解析】(2)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ABD和△DCE中,,
∴△ABD≌△DCE(ASA);
(3)当∠B=50°,且△ADE是等腰三角形时,直接写出∠BDA的度数.
【解析】(3)∵∠B=∠C=50°,∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°,
分三种情况讨论:
①当DA=DE时,∠DAE=∠DEA,
∵∠ADE=∠B=50°,∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°,
∴∠DAE=(180°-50°)÷2=65°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-65°=15°,
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-15°=115°;
②当AD=AE时,∠AED=∠ADE=50°,
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-50°-50°=80°,
∵∠BAC=80°,∴∠DAE=∠BAE,
∴点D与点B重合,不合题意.
③当EA=ED时,∠DAE=∠ADE=50°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=80°-50°=30°,
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°,
综上所述,当∠BDA的度数为115°或100°时,△ADE是等腰三角形.第3课时 等腰三角形与全等的综合
1如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是 ( )
A.45° B.70° C.65° D.50°
2如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,
∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 .
3如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.
4 (2024·河源期末)已知:如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC垂足为E,DF⊥BC垂足为F,且ED=FD,求证:△ABC是等腰三角形.
5如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ADE=∠ADF,求证:DE=DF.
6 (2024·宿迁期中)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,
∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
(1)求证:BA=BC;
(2)求证:△AFC为等腰三角形.
7如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.下列四个结论中:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF.其中正确的结论共有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8如图,已知S△ABC=24 m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC= m2.
9在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,且BD=CE,连接BE,CD相交于点O.
(1)求证:OB=OC;
(2)如图2,若∠BAC=36°,BE平分∠ABC,过点A作AF∥CD交BE的延长线于点F,直接写出图中与EF相等的线段.
10新考向·推理能力
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边BC上(点D不与点B,点C重合),
作∠ADE=∠B,DE交边AC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CDE;
(2)若DC=AB,求证:△ABD≌△DCE;
(3)当∠B=50°,且△ADE是等腰三角形时,直接写出∠BDA的度数.13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点1 等腰三角形的性质1
1(2023·宿迁中考)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是( )
A.70° B.45° C.35° D.50°
2(2023·眉山中考)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 ( )
A.70° B.100°
C.110° D.140°
3在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,一个含30°角的三角板如图放置(一直角边与BC边重合,斜边经过△ABC的顶点A),则∠α的度数为 ( )
A.15° B.20° C.30° D.40°
4如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ADB的度数为 .
练易错 未对三角形的形状分类讨论
5等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为 .
知识点2 等腰三角形的性质2
6(2024·雅安期中)已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是 ( )
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
7 (2023·吉林中考)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为 .
练易错 忽视对已知角是底角或顶角进行分类讨论,同时忽视满足三角形内角和定理
8等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角的度数为 .
9(2024·徐州期中)如图,△ABC中,AB=AC,两条角平分线BD,CE相交于点O.
(1)OB与OC相等吗 请说明你的理由;
(2)若连接AO,并延长AO交BC边于F点.你有哪些发现请写出两条,并就其中的一条发现写出你的发现过程.
10如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=CD,∠BAD=20°,则∠C的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
11如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD.则下列结论:①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③BC=AD;④OD=2CD.正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12新课标·数学文化(2024·江门期中)“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠DCE的度数是 .
13 (2024·北京期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点E是线段BC延长线上一点,连接AE,点C在AE的垂直平分线上,若DE=6,则△ABC的周长是 .
14新中考·实践探究问题情境:数学活动课上,张老师出示了一个问题:
如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,连接AD,BE平分∠ABC交AD于点E,点F是AC上一点,连接FE并延长交BC于点G,∠AEF=∠ABD,求证:
∠BAD=∠CGF.
(1)独立思考:求证:∠BAD=∠CGF.
(2)实践探究:在同学们独立完成后,张老师又提出了新问题,求证DG=AF,张老师的问题引发了同学们的思考,各小组进行了积极的讨论,仍不得其解.张老师给出提示:“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路.”“善思小组”的同学茅塞顿开,在对上述问题进行特殊化研究之后发现,如图2,当AB=BD时,很容易发现AE=DE,请你完成图2特殊情况下的证明DG=AF.
(3)问题解决:相信你从上面也得到了启发,参考“善思小组”的思路,请你在图1中完成张老师的问题,证明DG=AF.第2课时 等腰三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
1(2024·萍乡期末)在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠A=30°,∠B=60°
B.∠A=70°,∠B=50°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.∠A=60°,∠B=80°
2[教材再开发·P79练习T1变式]
如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有 个.
3如图,BE是△ABC的角平分线,DE∥BC.求证:△BDE是等腰三角形.
4如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D为BC上一点,且∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数.
(2)证明:△ACD是等腰三角形.
知识点2 等腰三角形的性质与判定的综合应用
5如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,△ADE也是等腰三角形吗 为什么
6 (2024·滨州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求:
(1)图中有哪些等腰三角形
(2)△ABC各角的度数.
知识点3 求作等腰三角形
7已知:线段a,∠α.
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.
8(2024·温州期中)下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.∠B=40°,∠C=80°
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.2∠A=∠B+∠C
D.三个角的度数之比是2∶2∶1
9[教材再开发·P79练习T2拓展延伸]如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线折叠,若AE=3,AB=4,BE=5,则重叠部分的面积是 ( )
A.8 B.10 C.12 D.13
练易错 已知三角形一边确定等腰三角形个数时,忽视分类讨论.
10如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限(∠1不等于60°),点P在x轴上.若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
练易错 当等腰三角形未指明腰或底时,需要分类讨论,三条边均有可能为底边.
11如图,已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),∠O=30°,当∠A= 时,△AOP为等腰三角形.
12[教材再开发·P83T11变式]上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离.
13新考向·模型观念、推理能力已知:△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O.
(1)如图1,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于E,F,求证:BE+CF=EF;
(2)如图2,过点O作OE∥AB交BC于E,OF∥AC交BC于F,若BC=10,求△OEF的周长;
(3)若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如图3,请写出这时EF与BE,CF间的关系(不需证明).第2课时 等腰三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
1(2024·萍乡期末)在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(C)
A.∠A=30°,∠B=60°
B.∠A=70°,∠B=50°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.∠A=60°,∠B=80°
2[教材再开发·P79练习T1变式]
如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有 6 个.
3如图,BE是△ABC的角平分线,DE∥BC.求证:△BDE是等腰三角形.
【证明】∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∵DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠DEB,∴DB=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
4如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D为BC上一点,且∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数.
(2)证明:△ACD是等腰三角形.
【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°,
∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.
(2)∵∠DAC=75°,∠C=30°,
∴∠ADC=180°-∠C-∠DAC=75°,
∴∠DAC=∠ADC,∴AC=DC,
∴△ACD是等腰三角形.
知识点2 等腰三角形的性质与判定的综合应用
5如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,△ADE也是等腰三角形吗 为什么
【解析】△ADE是等腰三角形.理由:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形.
6 (2024·滨州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求:
(1)图中有哪些等腰三角形
【解析】(1)图中的等腰三角形有△ABC,△ABD,△BCD,
∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴△ABC,△ABD,△BCD都是等腰三角形;
(2)△ABC各角的度数.
【解析】 (2)设∠A=x°,∵AD=DB,∴∠A=∠ABD=x°,
∵∠BDC是△ABD的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°,
∵BD=BC,∴∠BDC=∠C=2x°,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x°,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,解得x=36,
∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°,
∴△ABC各角的度数分别为36°,72°,72°.
知识点3 求作等腰三角形
7已知:线段a,∠α.
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.
【解析】如图所示,△ABC即为所求.
8(2024·温州期中)下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是 (D)
A.∠B=40°,∠C=80°
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.2∠A=∠B+∠C
D.三个角的度数之比是2∶2∶1
9[教材再开发·P79练习T2拓展延伸]如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线折叠,若AE=3,AB=4,BE=5,则重叠部分的面积是 (B)
A.8 B.10 C.12 D.13
练易错 已知三角形一边确定等腰三角形个数时,忽视分类讨论.
10如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限(∠1不等于60°),点P在x轴上.若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有 (C)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
练易错 当等腰三角形未指明腰或底时,需要分类讨论,三条边均有可能为底边.
11如图,已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),∠O=30°,当∠A= 75°或120°或30° 时,△AOP为等腰三角形.
12[教材再开发·P83T11变式]上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离.
【解析】由题意得:AB=(11-8)×15=3×15=45(海里),
∵∠NBC是△ABC的一个外角,∠NAC=40°,∠NBC=80°,
∴∠C=∠NBC-∠NAC=40°,
∴∠C=∠NAC=40°,
∴AB=BC=45海里,
∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里.
13新考向·模型观念、推理能力已知:△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O.
(1)如图1,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于E,F,求证:BE+CF=EF;
【解析】(1)∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∵∠ABC,∠ACB的平分线交于O点,
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∴∠EOB=∠OBE,∠FCO=∠FOC,
∴OE=BE,OF=CF,∴EF=EO+FO=BE+CF,∴BE+CF=EF;
(2)如图2,过点O作OE∥AB交BC于E,OF∥AC交BC于F,若BC=10,求△OEF的周长;
【解析】(2)∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠EBO=∠ABO,∠FCO=∠OCA,
∵OE∥AB,OF∥AC,∴∠EOB=∠ABO,∠FOC=∠OCA,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴BE=OE,CF=OF,∴△OEF的周长为OE+OF+EF=BE+CF+EF=BC=10;
(3)若△ABC中,∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.如图3,请写出这时EF与BE,CF间的关系(不需证明).
【解析】(3)EF=BE-CF,理由如下:∵EO∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠EOC=∠OCD,
∵BO,CO分别是∠ABC与∠ACD的平分线,
∴∠EBO=∠OBC,∠ACO=∠OCD,∴∠EOB=∠EBO,∠FCO=∠FOC,
∴BE=OE,CF=FO,
∵EF=OE-FO,∴EF=BE-CF.
