第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1(2024·临沂期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 cm,则AC的长度为( )
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.15 cm
2(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是 ( )
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
3如图,在以BC为底边的等腰△ABC中,∠A=30°,AC=8,BD⊥AC,则△ABC的面积是 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
4如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A= .
5(2024·泰州期中)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则AE+AF= .
练易错 当题目中无图时,图形可能存在多种情况,易忽视分类讨论.
6在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长.
7新考向·推理能力、几何直观如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数;
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
(3)求AB的长.13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
知识点1 等边三角形的性质
1如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为( )
A.4 B.30 C.18 D.12
2(2024·菏泽期中)如图,△ABD是等边三角形,BC=BD,∠BAC=20°,则∠CBD的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD= °.
4如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE.
知识点2 等边三角形的判定
5在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6下列关于等边三角形的说法正确的有 ( )
①有两个角是60°的三角形是等边三角形;
②三边相等的三角形是等边三角形;
③三个角相等的三角形是等边三角形;
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
7[教材再开发·P80例4变式]已知:如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证:∠C=∠CDE.
(2)若∠A=60°,试判断△DEC的形状,并说明理由.
8(2023·金昌中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC= ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
9(2024·威海期中)如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连接DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是 ( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
10如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B= °.
11(2023·江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 cm.
12如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是 .
13新考向·推理能力问题情境:
综合实践课上,老师出示如下题目:如图1,△ABC和△DBC是等边三角形,点E是AB上一点,点F是BC延长线上一点,BE=CF.连接DE,DF,DE交BC于点G,试判断DE与DF的数量关系,并说明理由.
数学思考:
(1)请你解决老师提出的问题.
拓展探究:
(2)在图1的基础上,“睿智小组”提出了新的问题:如图2,连接EF,试判断△DEF的形状,并说明理由.请你解决此问题.
(3)在图2的基础上,“奋进小组”提出了新的问题:延长DC,交EF于点P,得到图3,他们认为:EG=PF.请你利用图3判断他们的说法是否正确,并说明理由.第2课时 含30°角的直角三角形的性质
1(2024·临沂期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 cm,则AC的长度为(C)
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.15 cm
2(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是 (B)
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
3如图,在以BC为底边的等腰△ABC中,∠A=30°,AC=8,BD⊥AC,则△ABC的面积是 (B)
A.12 B.16 C.20 D.24
4如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A= 15° .
5(2024·泰州期中)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则AE+AF= 9 .
练易错 当题目中无图时,图形可能存在多种情况,易忽视分类讨论.
6在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长.
【解析】∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AB=2BC=4,
∵△ABD是等边三角形,∴AD=BD=AB=4,∠DAB=60°,
①如图所示:
∵E为AD的中点,∴DE=2,∴DE=BC,
∵∠DAB=∠ABC=60°,∴AD∥BC,
∴四边形DBCE是平行四边形,∴CE=BD=4;
②如图所示:
∵△ABD是等边三角形,∠ACB=90°,∴CD=CB,
∵E为AD的中点,∴AE=ED,
∴CE为△ABD的中位线,∴CE=AB=2,
综上,CE的长度为4或2.
7新考向·推理能力、几何直观如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数;
【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°,∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=×(180°-∠B)=75°,
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°;
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
【解析】(2)△ADF是等边三角形.
理由:∵CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,∴DF=CF,∵∠C=30°,
∴∠FDC=∠C=30°,
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°,∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,∴∠DAF=90°-∠C=60°,
∴∠ADF=60°,
即∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°,
∴△ADF是等边三角形;
(3)求AB的长.
【解析】(3)∵直线MF为CD的垂直平分线,
∴∠FMC=90°,
∵∠C=30°,MF=2,
∴FC=2MF=4,
∵DF=FC,
∴DF=4,
∵△ADF是等边三角形,
∴AF=DF=4,
∴AC=AF+CF=4+4=8,
∵AB=AC,
∴AB=8.13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
知识点1 等边三角形的性质
1如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为(D)
A.4 B.30 C.18 D.12
2(2024·菏泽期中)如图,△ABD是等边三角形,BC=BD,∠BAC=20°,则∠CBD的度数为 (D)
A.50° B.60° C.70° D.80°
3如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD= 30 °.
4如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE.
【证明】∵在等边△ABC中,BD是边AC上的高,
∴∠ABD=∠CBD=30°,∠ACB=60°,
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED=30°,∴∠DBC=∠CED,∴BD=DE.
知识点2 等边三角形的判定
5在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC= (A)
A.2 B.3 C.4 D.5
6下列关于等边三角形的说法正确的有 (D)
①有两个角是60°的三角形是等边三角形;
②三边相等的三角形是等边三角形;
③三个角相等的三角形是等边三角形;
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
7[教材再开发·P80例4变式]已知:如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证:∠C=∠CDE.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE∥AB,∴∠CDE=∠B,
∴∠C=∠CDE;
(2)若∠A=60°,试判断△DEC的形状,并说明理由.
【解析】(2)△DEC是等边三角形,
理由:∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠A=60°,
由(1)得△DEC是等腰三角形,
∴△DEC是等边三角形.
8(2023·金昌中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC= (C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
9(2024·威海期中)如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连接DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是 (C)
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
10如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B= 30 °.
11(2023·江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 2 cm.
12如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是 15°或60° .
13新考向·推理能力问题情境:
综合实践课上,老师出示如下题目:如图1,△ABC和△DBC是等边三角形,点E是AB上一点,点F是BC延长线上一点,BE=CF.连接DE,DF,DE交BC于点G,试判断DE与DF的数量关系,并说明理由.
数学思考:
(1)请你解决老师提出的问题.
【解析】(1)DE=DF,理由如下:
∵△ABC和△DBC是等边三角形,
∴BD=DC,∠ABC=∠DBC=∠DCB=60°,∴∠DBE=∠DCF=120°,
又∵BE=CF,∴△BDE≌△CDF(SAS),∴DE=DF;
拓展探究:
(2)在图1的基础上,“睿智小组”提出了新的问题:如图2,连接EF,试判断△DEF的形状,并说明理由.请你解决此问题.
【解析】(2)△DEF是等边三角形,理由如下:
∵△BDE≌△CDF,
∴∠BDE=∠CDF,DE=DF,
∴∠EDF=∠BDC=60°,
∴△DEF是等边三角形;
(3)在图2的基础上,“奋进小组”提出了新的问题:延长DC,交EF于点P,得到图3,他们认为:EG=PF.请你利用图3判断他们的说法是否正确,并说明理由.
【解析】(3)判断正确,理由如下:
∵△DEF是等边三角形,
∴ED=DF=EF,∠FED=∠EDF=60°,∴∠BCD=∠EDF=60°,
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠CFD,∴∠EDC=∠CFD,
∴△DGF≌△EPD(ASA),∴DG=EP,
∴DE-DG=EF-EP,∴EG=PF.
