第十三章 轴对称
一、选择题
1新课标·中华优秀传统文化剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音,寓意生活富裕、年年有余,是剪纸艺术中很受喜爱的主题.用数学的眼光观察下面关于鱼的剪纸中,抽象成轴对称图形的有 个.( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2(2023·常州中考)在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(2,1),则点P关于y轴对称的点的坐标为 ( )
A.(-2,-1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(2,1)
3如图,BC=10 cm,∠B=∠BAC=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
4如图,AD是等边△ABC的一条中线,若在边AC上取一点E,使得AE=AD,则∠EDC的度数为 ( )
A.30° B.20° C.25° D.15°
5(2024·滨州期中)下列说法中,正确的有( )
①两个全等的三角形一定关于某直线对称;
②关于某条直线对称的两个图形,对称点所连线段被对称轴垂直平分;
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点;
⑤△ABC的三边分别为a,b,c,且满足关系(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等边三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别是P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N.若△PMN的周长是5 cm,则P1P2的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
7如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为 ( )
A.120° B.125° C.130° D.135°
二、填空题
8(2023·青海中考)如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是 .
9(2023·锦州中考)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接CE.若CE=CA,∠ACE=40°,则∠B的度数为 .
10(2023·西宁中考)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是 .
11如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AB=5,D是AC的中点,P是AB上一动点,则CP+PD的最小值为 .
12如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 个.
三、解答题
13如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)△ABC的面积为 .
(2)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'.
(3)在MN上找一点P,使得PB+PC的距离最短,在图中作出P点的位置.
14如图,DE=BC,∠AED=∠C,∠1=∠2=60°.求证:AE=CE.
15如图,△ABC是边长为10的等边三角形,现有两点P,Q沿如图所示的方向分别从点A,点B同时出发,沿△ABC的边运动,已知点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,当点P第一次到达B点时,P,Q同时停止运动.
(1)点P,Q运动几秒后,可得到等边△APQ
(2)点P,Q运动几秒后,P,Q两点重合
(3)当点P,Q在BC边上运动时,能否得到以PQ为底边的等腰△APQ 如存在,请求出此时P,Q运动的时间.第十三章 轴对称
一、选择题
1新课标·中华优秀传统文化剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音,寓意生活富裕、年年有余,是剪纸艺术中很受喜爱的主题.用数学的眼光观察下面关于鱼的剪纸中,抽象成轴对称图形的有 个.(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2(2023·常州中考)在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(2,1),则点P关于y轴对称的点的坐标为 (C)
A.(-2,-1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(2,1)
3如图,BC=10 cm,∠B=∠BAC=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为 (C)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
4如图,AD是等边△ABC的一条中线,若在边AC上取一点E,使得AE=AD,则∠EDC的度数为 (D)
A.30° B.20° C.25° D.15°
5(2024·滨州期中)下列说法中,正确的有(B)
①两个全等的三角形一定关于某直线对称;
②关于某条直线对称的两个图形,对称点所连线段被对称轴垂直平分;
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点;
⑤△ABC的三边分别为a,b,c,且满足关系(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等边三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别是P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N.若△PMN的周长是5 cm,则P1P2的长为 (C)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
7如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为 (C)
A.120° B.125° C.130° D.135°
二、填空题
8(2023·青海中考)如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是 13 .
9(2023·锦州中考)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接CE.若CE=CA,∠ACE=40°,则∠B的度数为 35° .
10(2023·西宁中考)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是 90°或50° .
11如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AB=5,D是AC的中点,P是AB上一动点,则CP+PD的最小值为 5 .
12如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 7 个.
三、解答题
13如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)△ABC的面积为 .
【解析】(1)S△ABC=3×4-×3×2-×1×4-×1×3=12-3-2-1.5=5.5.
答案:5.5
(2)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'.
【解析】(2)如图,△A'B'C'即为所求.
(3)在MN上找一点P,使得PB+PC的距离最短,在图中作出P点的位置.
【解析】(3)如图,点P即为所求.
14如图,DE=BC,∠AED=∠C,∠1=∠2=60°.求证:AE=CE.
【证明】∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC,
在△ADE和△ABC中,,
∴△ADE≌△ABC(AAS),
∴AE=AC,∵∠2=60°,
∴△ACE是等边三角形,∴AE=CE.
15如图,△ABC是边长为10的等边三角形,现有两点P,Q沿如图所示的方向分别从点A,点B同时出发,沿△ABC的边运动,已知点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,当点P第一次到达B点时,P,Q同时停止运动.
(1)点P,Q运动几秒后,可得到等边△APQ
【解析】(1)设点P,Q运动t秒后,可得到等边三角形APQ,如图1,
则AP=t×1=t,AQ=AB-BQ=10-2t,
∵△APQ是等边三角形,
∴t=10-2t,解得t=,
∴点P,Q运动秒后,可得到等边三角形APQ;
(2)点P,Q运动几秒后,P,Q两点重合
【解析】(2)设点P,Q运动x秒后,P,Q两点重合,
∴x×1+10=2x,
解得x=10,
∴点P,Q运动10秒后,P,Q两点重合.
(3)当点P,Q在BC边上运动时,能否得到以PQ为底边的等腰△APQ 如存在,请求出此时P,Q运动的时间.
【解析】(3)当点P,Q在BC边上运动时,可以得到以PQ为底边的等腰三角形,
由(2)知10秒时P,Q两点重合,恰好在C处,
如图2,假设△APQ是等腰三角形,
则AQ=AP,
∴∠APQ=∠AQP,∴∠APC=∠AQB,
∵AB=AC,∴∠C=∠B,
在△ACP和△ABQ中,,
∴△ACP≌△ABQ(AAS),
∴CP=BQ,
设当点P,Q在BC边上运动,P,Q运动的时间为y秒时,△APQ是等腰三角形,
∴CP=y-10,QB=30-2y,
∴y-10=30-2y,
解得y=.故假设成立.
∴当点P,Q在BC边上运动时,能得到以PQ为底边的等腰三角形APQ,此时P,Q运动的时间为秒.
