第十三章 轴对称
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(新课标·中华优秀传统文化)(2024·赤峰期中)1971年,被考古界誉为红山文化象征的“中华第一龙”——红山碧玉龙在赤峰市红山文化遗址出土,赤峰市也因此被誉为“中华玉龙之乡”.红山碧玉龙的发现,不仅让中国人找到了龙的源头,也充分印证了中国龙文化的源远流长.除此之外,还有许多关于龙的图案,下列标志图案中属于轴对称图形的是 ( )
2平面直角坐标系中,点P(3,1)关于x轴对称的点的坐标是 ( )
A.(3,1) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(-3,-1)
3如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是 ( )
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
4如图所示,C,D是直线l上任意两点,AC=BC,AD=BD,则下列结论错误的是 ( )
A.∠ACD=∠BCD B.CD平分AB但不垂直于AB
C.CD垂直平分AB D.S△ACD=
5如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AC=8 cm,且△ABD的周长为14 cm,则△ABC的周长为( )
A.15 cm B.18 cm C.22 cm D.25 cm
6如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长度为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地,则A,C两地相距 ( )
A.100海里 B.80海里
C.60海里 D.40海里
8(2024·临沂期中)如图,在△ABC中,AB=AC=6,则△ABC的面积为 ( )
A.4 B.6 C.9 D.16
9如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当PC与PE的和最小时,∠ECP的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
10如图,在△ABC中,AB=20 cm,AC=12 cm,点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时,运动的时间是 ( )
A.2.5秒 B.3秒 C.3.5秒 D.4秒
二、填空题(每小题3分,共24分)
11(2023·丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 .
12已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=30°,则∠BAD= °.
13如图,用圆规以直角顶点O为圆心,以适当长为半径画一条弧交两直角边于A,B两点,若再以A点为圆心,以OA长为半径画弧,与弧AB交于点C,则∠AOC等于 .
14如图,点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称,则a+b= .
15定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .
16如图,已知P,Q是△ABC的边BC上的两点,且 BP=QC=PQ=AP=AQ,则∠BAC= .
17如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB于点D,交AC于点E,下列结论:①△BDF,△ADE都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB+AC;④BF=CF;⑤若∠A=80°,则∠BFC=130°.其中正确的有 .(填序号)
18已知,∠MON=30°,点A1,A2,A3…在射线ON上,点B1,B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A7B7A8的边长为 .
三、解答题(共46分)
19(10分)(2023·益阳中考)如图,AB∥CD,直线MN与AB,CD分别交于点E,F,CD上有一点G且GE=GF,∠1=122°,求∠2的度数.
20(10分)(2024·惠州期中)如图所示的方格纸中,每个小方格的边长都是1,点A(-4,1),B(-3,3),C(-1,2);
(1)作△ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出A',B',C'的坐标;
(2)在x轴上画出点P,使PA+PC最小,并写出P点的坐标.
21(12分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°.
(1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线交BC于点D;
②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求:保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
22(14分)两个共顶点的不重合等边三角形,分别连接对侧顶点构成的两个三角形全等.
(1)如图1,△ABD,△AEC都是等边三角形,请证明△DAC≌△BAE;
(2)如图2,在第(1)问条件下,设BE,DC交于P,连接AP,求证:PA平分∠DPE.
【附加题】(10分)
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形;
(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并写出MD,DG与AD之间的数量关系.第十三章 轴对称
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(新课标·中华优秀传统文化)(2024·赤峰期中)1971年,被考古界誉为红山文化象征的“中华第一龙”——红山碧玉龙在赤峰市红山文化遗址出土,赤峰市也因此被誉为“中华玉龙之乡”.红山碧玉龙的发现,不仅让中国人找到了龙的源头,也充分印证了中国龙文化的源远流长.除此之外,还有许多关于龙的图案,下列标志图案中属于轴对称图形的是 (C)
2平面直角坐标系中,点P(3,1)关于x轴对称的点的坐标是 (B)
A.(3,1) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(-3,-1)
3如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是 (C)
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
4如图所示,C,D是直线l上任意两点,AC=BC,AD=BD,则下列结论错误的是 (B)
A.∠ACD=∠BCD B.CD平分AB但不垂直于AB
C.CD垂直平分AB D.S△ACD=
5如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AC=8 cm,且△ABD的周长为14 cm,则△ABC的周长为(C)
A.15 cm B.18 cm C.22 cm D.25 cm
6如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长度为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
7一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地,则A,C两地相距 (A)
A.100海里 B.80海里
C.60海里 D.40海里
8(2024·临沂期中)如图,在△ABC中,AB=AC=6,则△ABC的面积为 (C)
A.4 B.6 C.9 D.16
9如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当PC与PE的和最小时,∠ECP的度数是 (A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
10如图,在△ABC中,AB=20 cm,AC=12 cm,点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时,运动的时间是 (D)
A.2.5秒 B.3秒 C.3.5秒 D.4秒
二、填空题(每小题3分,共24分)
11(2023·丽水中考)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 4 .
12已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=30°,则∠BAD= 60 °.
13如图,用圆规以直角顶点O为圆心,以适当长为半径画一条弧交两直角边于A,B两点,若再以A点为圆心,以OA长为半径画弧,与弧AB交于点C,则∠AOC等于 60° .
14如图,点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称,则a+b= -5 .
15定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 6 .
16如图,已知P,Q是△ABC的边BC上的两点,且 BP=QC=PQ=AP=AQ,则∠BAC= 120° .
17如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB于点D,交AC于点E,下列结论:①△BDF,△ADE都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB+AC;④BF=CF;⑤若∠A=80°,则∠BFC=130°.其中正确的有 ②③⑤ .(填序号)
18已知,∠MON=30°,点A1,A2,A3…在射线ON上,点B1,B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=a,则△A7B7A8的边长为 64a .
三、解答题(共46分)
19(10分)(2023·益阳中考)如图,AB∥CD,直线MN与AB,CD分别交于点E,F,CD上有一点G且GE=GF,∠1=122°,求∠2的度数.
【解析】∵AB∥CD,∴∠MFD=∠1=122°,∵GE=GF,
∴∠GFE=∠GEF=180°-∠MFD=180°-122°=58°,
∴∠2=180°-58°-58°=64°.
20(10分)(2024·惠州期中)如图所示的方格纸中,每个小方格的边长都是1,点A(-4,1),B(-3,3),C(-1,2);
(1)作△ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出A',B',C'的坐标;
【解析】(1)如图所示,△A'B'C'即为所求;
可得:A'(4,1),B'(3,3),C'(1,2).
(2)在x轴上画出点P,使PA+PC最小,并写出P点的坐标.
【解析】(2)作点A关于x轴对称的点A1,连接A1C交x轴于点P,如图所示,点P即为所求,
∵PA+PC=PA1+PC≥A1C,∴PA+PC的最小值为A1C,由图可知:P(-3,0).
21(12分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°.
(1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线交BC于点D;
②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求:保留作图痕迹,不写作法)
【解析】(1)如图,边AB的垂直平分线、射线AE即为所求;
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
【解析】(2)∵DF垂直平分线段AB,∴DB=DA,∴∠DAB=∠B=30°,
∵∠C=40°,∴∠BAC=180°-30°-40°=110°,
∴∠CAD=110°-30°=80°,
∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠DAC=40°.
22(14分)两个共顶点的不重合等边三角形,分别连接对侧顶点构成的两个三角形全等.
(1)如图1,△ABD,△AEC都是等边三角形,请证明△DAC≌△BAE;
【证明】(1)∵△ABD,△AEC都是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,
∴∠DAC=∠BAE,在△DAC和△BAE中,
∴△DAC≌△BAE(SAS);
(2)如图2,在第(1)问条件下,设BE,DC交于P,连接AP,求证:PA平分∠DPE.
【证明】(2)过A作AM⊥CD于M,AN⊥BE于N,则∠AMD=∠ANB=90°,
∵△DAC≌△BAE,∴∠ADM=∠ABN,
在△ADM和△ABN中,
∴△ADM≌△ABN(AAS),∴AM=AN,∵AM⊥CD,AN⊥BE,∴PA平分∠DPE.
【附加题】(10分)
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形;
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,BC=AB.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠DBA=∠A=30°.∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E,∴AE=BE=AB.∴BC=BE.∴△EBC是等边三角形;
(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并写出MD,DG与AD之间的数量关系.
【解析】(2)作图如图所示,结论:AD=DG+DM.
如图,延长ED使得DW=DM,连接MW,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,
∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,又∵DM=DW,∴△WDM是等边三角形,∴MW=DM,
在△WGM和△DBM中,∵,∴△WGM≌△DBM(ASA),
∴BD=WG=DG+DM,∴AD=DG+DM.
