14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
知识点1 运用平方差公式进行计算
1化简(1+y)(1-y)的结果是 ( )
A.1+y2 B.-1-y2
C.1-y2 D.-1+y2
练易错 概念不清,导致公式运用错误
2下列算式能用平方差公式计算的是 ( )
A.(2a+b)(2b-a)
B.(+x)(--x)
C.(3x-y)(-3x+y)
D.(-m-n)(-m+n)
3(2024·北京期中)若(a+1)(a-1)=35,则a的值为 ( )
A.±6 B.±3 C.6 D.3
4用简便方法计算40×39,变形正确的是( )
A. B.
C. D.
5计算:(2+3x)(-2+3x)= .
6[教材再开发·P108练习T2补充]
计算:(1)(4a-1)(-4a-1);
(2);
(3)1 003×997;
(4)(b+2)(b-2)(b2+4).
知识点2 平方差公式的逆用
7(2023·雅安中考)若a+b=2,a-b=1,则a2-b2的值为 .
8若a2-b2=,a-b=,则a+b的值为 .
知识点3 平方差公式的实际应用
9一个长方形的长为(a+b)m,宽为(a-b)m,则这个长方形的面积为 ( )
A.(a2-b2)m2 B.(a+b)2m2
C.(a-b)2m2 D.(2a-2b)m2
10[数学与生活]为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的南北方向增加3 m,东西方向缩短3 m,则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比 ( )
A.增加6 m2 B.增加9 m2
C.减少9 m2 D.保持不变
11如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形,把余下的部分拼成一个长方形(无重叠部分),通过计算两个图形中阴影部分的面积,可以验证的一个等式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.a(a-b)=a2-ab
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.a(a+b)=a2+ab
12定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8.则(x-1)※x的结果为 .
13(2024·哈尔滨期中)计算2 0242-2 023×2 025= .
14计算:(1)(x+1)(x-1)+x(2-x).
(2)a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(b-3).
15已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.
16小明利用如图所示的图形验证平方差公式,如图1,在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形,然后拼成如图2所示的梯形,请你帮助小明完成下列问题:
(1)在图中标明有关线段的长度.
(2)分别计算图1、图2的面积.
(3)根据上述结果得出什么结论
17新趋势·抽象能力、推理能力(2024·衡阳期中)阅读下面问题:你能化简(a-1)(a99+a98+…+a+1)吗 我们不妨先从简单情况入手,发现规律,归纳结论.
(1)先填空:
①(a-1)(a+1)= .
②(a-1)(a2+a+1)= .
③(a-1)(a3+a2+a+1)= .
④由此猜想(a-1)(a99+a98+…+a+1)= .
(2)利用得出的结论计算:22 024+22 023+22 022+22 021+…+3.14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
知识点1 运用平方差公式进行计算
1化简(1+y)(1-y)的结果是 (C)
A.1+y2 B.-1-y2
C.1-y2 D.-1+y2
练易错 概念不清,导致公式运用错误
2下列算式能用平方差公式计算的是 (D)
A.(2a+b)(2b-a)
B.(+x)(--x)
C.(3x-y)(-3x+y)
D.(-m-n)(-m+n)
3(2024·北京期中)若(a+1)(a-1)=35,则a的值为 (A)
A.±6 B.±3 C.6 D.3
4用简便方法计算40×39,变形正确的是(B)
A. B.
C. D.
5计算:(2+3x)(-2+3x)= 9x2-4 .
6[教材再开发·P108练习T2补充]
计算:(1)(4a-1)(-4a-1);
【解析】(1)(4a-1)(-4a-1)=(-1+4a)(-1-4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2;
(2);
【解析】(2)原式=(-2y)2-=4y2-x2;
(3)1 003×997;
【解析】(3)原式=(1 000+3)(1 000-3)=1 0002-9=999 991;
(4)(b+2)(b-2)(b2+4).
【解析】(4)原式=(b2-4)(b2+4)=b4-16.
知识点2 平方差公式的逆用
7(2023·雅安中考)若a+b=2,a-b=1,则a2-b2的值为 2 .
8若a2-b2=,a-b=,则a+b的值为 .
知识点3 平方差公式的实际应用
9一个长方形的长为(a+b)m,宽为(a-b)m,则这个长方形的面积为 (A)
A.(a2-b2)m2 B.(a+b)2m2
C.(a-b)2m2 D.(2a-2b)m2
10[数学与生活]为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的南北方向增加3 m,东西方向缩短3 m,则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比 (C)
A.增加6 m2 B.增加9 m2
C.减少9 m2 D.保持不变
11如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形,把余下的部分拼成一个长方形(无重叠部分),通过计算两个图形中阴影部分的面积,可以验证的一个等式是(A)
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.a(a-b)=a2-ab
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.a(a+b)=a2+ab
12定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8.则(x-1)※x的结果为 x2-1 .
13(2024·哈尔滨期中)计算2 0242-2 023×2 025= 1 .
14计算:(1)(x+1)(x-1)+x(2-x).
【解析】(1)原式=x2-1+2x-x2=2x-1.
(2)a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(b-3).
【解析】(2)原式=a2+2a-(a2-b2)-b2+3b=a2+2a-a2+b2-b2+3b=2a+3b.
15已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.
【解析】(3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4,
∵5x2-x-1=0,
∴5x2-x=1,
∴原式=2(5x2-x)-4=-2.
16小明利用如图所示的图形验证平方差公式,如图1,在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形,然后拼成如图2所示的梯形,请你帮助小明完成下列问题:
(1)在图中标明有关线段的长度.
【解析】(1)标明有关线段的长度的图形如图所示.
(2)分别计算图1、图2的面积.
【解析】(2)S图1=a2-b2,S图2=(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b).
(3)根据上述结果得出什么结论
【解析】(3)根据图形的变形方法,图1与图2的面积相等,即(a+b)(a-b)=a2-b2,由此验证了平方差公式的正确性.
17新趋势·抽象能力、推理能力(2024·衡阳期中)阅读下面问题:你能化简(a-1)(a99+a98+…+a+1)吗 我们不妨先从简单情况入手,发现规律,归纳结论.
(1)先填空:
①(a-1)(a+1)= .
②(a-1)(a2+a+1)= .
③(a-1)(a3+a2+a+1)= .
④由此猜想(a-1)(a99+a98+…+a+1)= .
【解析】(1)①根据平方差公式(a-1)(a+1)=a2-1,
②(a-1)[a2+(a+1)]=a3-a2+a2-1=a3-1,
③(a-1)[a3+a2+(a+1)]=a4+a3-a3-a2+a2-1=a4-1,
④由①②③规律可得(a-1)(a99+a98+…+a+1)=a100-1.
答案:①a2-1 ②a3-1 ③a4-1 ④a100-1
(2)利用得出的结论计算:22 024+22 023+22 022+22 021+…+3.
【解析】(2)22 024+22 023+22 022+22 021+…+3
=(2-1)(22 024+22 023+22 022+22 021+…+1)+2
=22 025-1+2=22 025+1.
