知识点1 运用完全平方公式进行计算
1(2024·广州期中)计算(x-1)2= ( )
A.x2-1 B.x2-x+1 C.x2-2x+1 D.x2+2x+1
2下列各式中,能用完全平方公式计算的是 ( )
A.(2m-3n)(-2m-3n)
B.(-2m-3n)(2m+3n)
C.(2m-3n)(2m+3n)
D.(2m+3n)(3m+2n)
3[教材再开发·P110例4变式]将9.52变形正确的是 ( )
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
4下列计算正确的是 ( )
A.(2a+b)2=4a2+b2
B.(5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C.(x-y)2=x2-xy+y2
D.(x-)2=x2-x+
5[教材再开发·P112T3变式](1)计算:(x+2)2+x(x-4);
(2)计算:(x+1)2-(x-1)(x+1).
知识点2 完全平方公式的逆用
6若x=2y-3,则4y2-4xy+x2的值是 .
7计算:512-51×98+492= .
知识点3 完全平方公式的实际应用
8图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空余部分的面积是 ( )
A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2
9(2024·唐山期中)下列各式从左到右的变形,正确的是 ( )
A.(x+y)2=-(x+y)2
B.(x-y)2=(-x-y)2
C.(x-y)2=(y-x)2
D.-(x-y)2=(y-x)2
10若x+y=6,x2+y2=20,则x-y的值是 ( )
A.4 B.-4 C.2 D.±2
11对于任意有理数a,b,现用“☆”定义一种运算:a☆b=a2-b2.根据这个定义,代数式(x+y)☆y可以化简为 ( )
A.xy+y2 B.xy-y2 C.x2+2xy D.x2
12我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式,例如图1可以用来解释(a+b)2-(a-b)2=4ab,那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是 ( )
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2
13若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a,b的值分别为 ( )
A.a=4,b=3 B.a=2,b=3
C.a=4,b=9 D.a=2,b=9
14(2024·大连期中)如果x+y=-6,xy=8,那么x2+y2= .
15若x-=3,则x2+的值是 .
16(1)(2024·上海期中)计算:(x+3y)2-2(x+3y)(x-3y)+(x-3y)2.
(2)解方程:3x-4(x-1)(x+1)=-3-(2x+2)2.
17新考向·应用意识(2024·西安质检)在学习完全平方公式后,我们对公式的运用作进一步探讨,请你阅读下列解题思路:
例1:已知a+b=4,ab=3,求a2+b2的值.
∵a+b=4,ab=3,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×3=10.
例2:若y满足(10-y)(y-2)=16,求(10-y)2+(y-2)2的值.
设10-y=a,y-2=b,
则a+b=(10-y)+(y-2)=8,ab=(10-y)(y-2)=16.
这样就可以利用例1中的方法进行求值了!
请结合以上两个例题解析下列问题:
(1)若a+b=8,ab=12,求a2+b2的值.
(2)若x满足(18-x)(x-5)=30,求(18-x)2+(x-5)2的值.第2课时 添括号法则
知识点1 添括号法则
1(2024·绍兴期末)下列添括号正确的是(C)
A.x+y=-(x-y) B.x-y=-(x+y)
C.-x+y=-(x-y) D.-x-y=-(x-y)
2将多项式3m4-2m2+4m-5添括号后正确的是 (B)
A.3m4-(2m2+4m-5)
B.(3m4+4m)-(2m2+5)
C.(3m4-5)+(-2m2-4m)
D.2m2+(3m4+4m-5)
练易错 括号前面添“-”时,忽视括号里面的符号需改变而致错
3在下列各式的括号内填上适当的项.
(1)a+b-c=a+( b-c ).
(2)a-b+c-d=(a-d)-( b-c ).
(3)x3-3x2y+3xy2-y3=x3+( -3x2y+3xy2-y3 ).
(4)2-x2+2xy-y2=2-( x2-2xy+y2 ).
知识点2 运用添括号法则进行计算
4已知x-2y=-2,则3-x+2y的值是 (D)
A.0 B.1 C.3 D.5
5如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,则a+b= ±4 .
6计算:(a-b+2c)2= a2-2ab+b2+4ac-4bc+4c2 .
7[教材再开发·P111练习T2补充]计算:
(1)(x-2y+3z)2.
【解析】(1)(x-2y+3z)2=[(x-2y)+3z]2
=(x-2y)2+6z(x-2y)+9z2=x2-4xy+4y2+6xz-12yz+9z2.
(2)(x-y+5)(x-y-5).
【解析】(2)原式=[(x-y)+5][(x-y)-5]
=(x-y)2-52=x2-2xy+y2-25.
(3)(x-2y-4)(x+2y-4).
【解析】(3)(x-2y-4)(x+2y-4)
=[(x-4)-2y][(x-4)+2y]
=(x-4)2-(2y)2=x2-8x+16-4y2.
(4)(2x-3y+z)(2z+3y-z).
【解析】(4)(2x-3y+z)(2x+3y-z)
=[2x-(3y-z)][2x+(3y-z)]
=(2x)2-(3y-z)2=4x2-9y2+6yz-z2.
8(2024·南通期中)下列添括号正确的是(A)
A.a+b-c=a+(b-c)
B.a+b-c=a-(b-c)
C.a-b-c=a-(b-c)
D.a-b+c=a+(b-c)
9若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N的大小关系是 (B)
A.M>N B.M10已知当x=1时,多项式ax5+bx3+cx-3的值为5,那么当x=-1时,多项式ax5+bx3+cx的值为 -8 .
11如果a-b=4,ab=1,则(2a+2b+1)(2a+2b-1)= 79 .
12计算:(a-2b+5)(a+2b-5)+(a+2b+5)(2b-a-5).
【解析】原式=[a-(2b-5)][a+(2b-5)]+[2b+(a+5)][2b-(a+5)]
=a2-(2b-5)2+(2b)2-(a+5)2=a2-4b2+20b-25+4b2-a2-10a-25=-10a+20b-50.
13计算:(1)(a-b-3)2-(a+b-2)2;
【解析】(1)原式=(a2+b2-2ab-6a+6b+9)-(a2+b2+2ab-4a-4b+4)
=a2+b2-2ab-6a+6b+9-a2-b2-2ab+4a+4b-4=-4ab-2a+10b+5;
(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.
【解析】(2)原式=[(x-z)+2y][ (x-z)-2y]-[(x+y)-z]2=(x-z)2-(2y)2-[(x+y)2-2(x+y)z+z2]
=x2-2xz+z2-4y2-[x2+2xy+y2-2xz-2yz+z2]=x2-2xz+z2-4y2-x2-2xy-y2+2xz+2yz-z2
=-5y2-2xy+2yz.
14新趋势·运算能力、推理能力已知x-y=6,xy=-8.
(1)求x2+y2的值.
【解析】(1)∵x-y=6,xy=-8,
(x-y)2=x2+y2-2xy,
∴x2+y2=(x-y)2+2xy=36-16=20.
(2)求代数式(x+y+z)2+(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)的值.
【解析】(2)∵(x+y+z)2+(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)
=(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)+-xz-yz
=x2+y2+z2+xy+xz+yz+x2+y2-xy-z2-xz-yz=x2+y2,
又∵x2+y2=20,∴原式=20.
阶段测评 请做 “阶段综合测评卷(三)”第2课时 添括号法则
知识点1 添括号法则
1(2024·绍兴期末)下列添括号正确的是( )
A.x+y=-(x-y) B.x-y=-(x+y)
C.-x+y=-(x-y) D.-x-y=-(x-y)
2将多项式3m4-2m2+4m-5添括号后正确的是 ( )
A.3m4-(2m2+4m-5)
B.(3m4+4m)-(2m2+5)
C.(3m4-5)+(-2m2-4m)
D.2m2+(3m4+4m-5)
练易错 括号前面添“-”时,忽视括号里面的符号需改变而致错
3在下列各式的括号内填上适当的项.
(1)a+b-c=a+( ).
(2)a-b+c-d=(a-d)-( ).
(3)x3-3x2y+3xy2-y3=x3+( ).
(4)2-x2+2xy-y2=2-( ).
知识点2 运用添括号法则进行计算
4已知x-2y=-2,则3-x+2y的值是 ( )
A.0 B.1 C.3 D.5
5如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,则a+b= .
6计算:(a-b+2c)2= .
7[教材再开发·P111练习T2补充]计算:
(1)(x-2y+3z)2.
(2)(x-y+5)(x-y-5).
(3)(x-2y-4)(x+2y-4).
(4)(2x-3y+z)(2z+3y-z).
8(2024·南通期中)下列添括号正确的是( )
A.a+b-c=a+(b-c)
B.a+b-c=a-(b-c)
C.a-b-c=a-(b-c)
D.a-b+c=a+(b-c)
9若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N的大小关系是 ( )
A.M>N B.M10已知当x=1时,多项式ax5+bx3+cx-3的值为5,那么当x=-1时,多项式ax5+bx3+cx的值为 .
11如果a-b=4,ab=1,则(2a+2b+1)(2a+2b-1)= .
12计算:(a-2b+5)(a+2b-5)+(a+2b+5)(2b-a-5).
13计算:(1)(a-b-3)2-(a+b-2)2;
(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2.
14新趋势·运算能力、推理能力已知x-y=6,xy=-8.
(1)求x2+y2的值.
(2)求代数式(x+y+z)2+(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)的值.14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
知识点1 运用完全平方公式进行计算
1(2024·广州期中)计算(x-1)2= (C)
A.x2-1 B.x2-x+1 C.x2-2x+1 D.x2+2x+1
2下列各式中,能用完全平方公式计算的是 (B)
A.(2m-3n)(-2m-3n)
B.(-2m-3n)(2m+3n)
C.(2m-3n)(2m+3n)
D.(2m+3n)(3m+2n)
3[教材再开发·P110例4变式]将9.52变形正确的是 (C)
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
4下列计算正确的是 (D)
A.(2a+b)2=4a2+b2
B.(5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C.(x-y)2=x2-xy+y2
D.(x-)2=x2-x+
5[教材再开发·P112T3变式](1)计算:(x+2)2+x(x-4);
【解析】(1)原式=x2+4x+4+x2-4x=2x2+4.
(2)计算:(x+1)2-(x-1)(x+1).
【解析】(2)原式=(x2+2x+1)-(x2-1)=x2+2x+1-x2+1=2x+2.
知识点2 完全平方公式的逆用
6若x=2y-3,则4y2-4xy+x2的值是 9 .
7计算:512-51×98+492= 4 .
知识点3 完全平方公式的实际应用
8图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空余部分的面积是 (C)
A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2
9(2024·唐山期中)下列各式从左到右的变形,正确的是 (C)
A.(x+y)2=-(x+y)2
B.(x-y)2=(-x-y)2
C.(x-y)2=(y-x)2
D.-(x-y)2=(y-x)2
10若x+y=6,x2+y2=20,则x-y的值是 (D)
A.4 B.-4 C.2 D.±2
11对于任意有理数a,b,现用“☆”定义一种运算:a☆b=a2-b2.根据这个定义,代数式(x+y)☆y可以化简为 (C)
A.xy+y2 B.xy-y2 C.x2+2xy D.x2
12我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式,例如图1可以用来解释(a+b)2-(a-b)2=4ab,那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是 (A)
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2
13若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则a,b的值分别为 (D)
A.a=4,b=3 B.a=2,b=3
C.a=4,b=9 D.a=2,b=9
14(2024·大连期中)如果x+y=-6,xy=8,那么x2+y2= 20 .
15若x-=3,则x2+的值是 11 .
16(1)(2024·上海期中)计算:(x+3y)2-2(x+3y)(x-3y)+(x-3y)2.
【解析】(1)原式=[(x+3y)-(x-3y)]2=(x+3y-x+3y)2=36y2.
(2)解方程:3x-4(x-1)(x+1)=-3-(2x+2)2.
【解析】(2)3x-4(x-1)(x+1)=-3-(2x+2)2.
即3x-4(x2-1)=-3-(4x2+8x+4),
即3x-4x2+4=-3-4x2-8x-4,
移项,得3x-4x2+4x2+8x=-3-4-4,
合并同类项,得 11x=-11,
系数化为1,得x=-1.
17新考向·应用意识(2024·西安质检)在学习完全平方公式后,我们对公式的运用作进一步探讨,请你阅读下列解题思路:
例1:已知a+b=4,ab=3,求a2+b2的值.
∵a+b=4,ab=3,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×3=10.
例2:若y满足(10-y)(y-2)=16,求(10-y)2+(y-2)2的值.
设10-y=a,y-2=b,
则a+b=(10-y)+(y-2)=8,ab=(10-y)(y-2)=16.
这样就可以利用例1中的方法进行求值了!
请结合以上两个例题解析下列问题:
(1)若a+b=8,ab=12,求a2+b2的值.
【解析】(1)∵a+b=8,
∴a2+2ab+b2=64,
将ab=12代入得,
a2+b2+2×12=64,
∴a2+b2
=64-24
=40.
(2)若x满足(18-x)(x-5)=30,求(18-x)2+(x-5)2的值.
【解析】(2)设18-x=a,x-5=b,则a+b=13,根据题意得,
(18-x)(x-5)=ab=30,
∴(18-x)2+(x-5)2
=a2+b2
=132-2×30
=109.
