14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
知识点1 用平方差公式分解因式
1[教材再开发·P117练习T1补充]下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( )
A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2
2因式分解a2-4的结果是 ( )
A.(a+2)(a-2) B.(a-2)2 C.(a+2)2 D.a(a-2)
3已知x2-16=(x-a)(x+a),那么a等于 ( )
A.16 B.±4 C.4 D.±2
4分解因式结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是 ( )
A.4a2-b2 B.4a2+b2
C.-4a2-b2 D.-4a2+b2
5(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1= ( )
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
6分解因式:
(1)(2023·兰州中考)x2-25y2= .
(2)(2023·朝阳中考)a3-a= .
(3)(2023·赤峰中考)x3-9x= .
(4)(2023·北京中考)x2y-y3= .
练易错 利用平方差公式因式分解时,因概念不清而致错
7当整数a为 时(只写一个),多项式x2+a能用平方差公式分解因式.
知识点2 用平方差公式分解因式的应用
8已知a,b是△ABC的两边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.不确定
9(2024·南阳期中)若a+b=2 024,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2= .
10已知2x-y=,xy=2,求4x3y-4x2y2+xy3的值.
11如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形.
(1)用代数式表示阴影部分的面积.
(2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,b=3.7时,阴影部分的面积.
12如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式( )
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
13已知a+b=2,a-b=4,则a3b-ab3的值是 ( )
A.48 B.-12 C.24 D.-24
14(2024·烟台期中)对于任意关于正整数m的多项式(4m+5)2-9都能被 整除( )
A.8 B.m C.m-1 D.2m-1
15[数学与生活](2023·佛山期中)小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:中,爱,我,数,学,一.现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱学 B.爱一中
C.我爱一中 D.一中数学
16如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是 ( )
A.205 B.250 C.502 D.520
17(2024·淄博期中)计算:1002-992+982-972+…+22-1= .
18因式分解:(1)25x2-4y2;
(2)2am2-8a;
(3)m3(x-2)-m(x-2);
(4)a2(x-y)+4(y-x).
19新概念·创新意识、应用意识(2024·三明期中)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)32这个数是奇特数吗 若是,表示成两个连续奇数的平方差形式.
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
(3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积.14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
知识点1 用平方差公式分解因式
1[教材再开发·P117练习T1补充]下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 (C)
A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2
2因式分解a2-4的结果是 (A)
A.(a+2)(a-2) B.(a-2)2 C.(a+2)2 D.a(a-2)
3已知x2-16=(x-a)(x+a),那么a等于 (B)
A.16 B.±4 C.4 D.±2
4分解因式结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是 (D)
A.4a2-b2 B.4a2+b2
C.-4a2-b2 D.-4a2+b2
5(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1= (A)
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
6分解因式:
(1)(2023·兰州中考)x2-25y2= (x-5y)(x+5y) .
(2)(2023·朝阳中考)a3-a= a(a+1)(a-1) .
(3)(2023·赤峰中考)x3-9x= x(x+3)(x-3) .
(4)(2023·北京中考)x2y-y3= y(x+y)(x-y) .
练易错 利用平方差公式因式分解时,因概念不清而致错
7当整数a为 -4(答案不唯一) 时(只写一个),多项式x2+a能用平方差公式分解因式.
知识点2 用平方差公式分解因式的应用
8已知a,b是△ABC的两边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 (A)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.不确定
9(2024·南阳期中)若a+b=2 024,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2= 6 072 .
10已知2x-y=,xy=2,求4x3y-4x2y2+xy3的值.
【解析】4x3y-4x2y2+xy3=xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y)2,当2x-y=,xy=2时,原式=2×=.
11如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形.
(1)用代数式表示阴影部分的面积.
【解析】(1)由题意得阴影部分的面积为a2-4b2.
(2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,b=3.7时,阴影部分的面积.
【解析】(2)∵a2-4b2=(a+2b)(a-2b),
当a=15.4,b=3.7时,
原式=(15.4+7.4)(15.4-7.4)=22.8×8=182.4.
12如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式(B)
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
13已知a+b=2,a-b=4,则a3b-ab3的值是 (D)
A.48 B.-12 C.24 D.-24
14(2024·烟台期中)对于任意关于正整数m的多项式(4m+5)2-9都能被 整除(A)
A.8 B.m C.m-1 D.2m-1
15[数学与生活](2023·佛山期中)小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:中,爱,我,数,学,一.现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (C)
A.我爱学 B.爱一中
C.我爱一中 D.一中数学
16如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是 (D)
A.205 B.250 C.502 D.520
17(2024·淄博期中)计算:1002-992+982-972+…+22-1= 5 050 .
18因式分解:(1)25x2-4y2;
【解析】(1)25x2-4y2
=(5x)2-(2y)2
=(5x+2y)(5x-2y);
(2)2am2-8a;
【解析】(2)2am2-8a
=2a(m2-4)
=2a(m+2)(m-2);
(3)m3(x-2)-m(x-2);
【解析】(3)m3(x-2)-m(x-2)
=m(x-2)(m2-1)
=m(x-2)(m+1)(m-1);
(4)a2(x-y)+4(y-x).
【解析】(4)a2(x-y)+4(y-x)
=a2(x-y)-4(x-y)
=(x-y)(a2-4)
=(x-y)(a+2)(a-2).
19新概念·创新意识、应用意识(2024·三明期中)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)32这个数是奇特数吗 若是,表示成两个连续奇数的平方差形式.
【解析】(1)∵32=92-72,∴32是奇特数;
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
【解析】(2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数,
理由:(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=8n,
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数;
(3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积.
【解析】(3)S=392-372+352-332+…+72-52+32-12
=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+…+(3+1)(3-1)
=(39+37+35+33+…+3+1)×2
=×2
=800.第2课时 运用完全平方公式因式分解
知识点1 完全平方式
1(2024·泉州期中)下列多项式中,不是两数和(差)的平方公式的是 (A)
A.4a2-4a-1 B.4a2+4a+1 C.a2-a+ D.a2+a+
2已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于 (A)
A.64 B.48 C.32 D.16
练易错 忽视完全平方公式中间项的符号可正可负而致错
3(2023·凉山州中考)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 ±2 .
知识点2 用完全平方公式分解因式
4下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 (D)
A.x2+1
B.x2+2x-1
C.x2+x+1
D.x2+4x+4
5(2024·泉州期中)把a2-2a+1分解因式,正确的是 (D)
A.a(a-2)+1 B.(a+1)2
C.(a+1)(a-1) D.(a-1)2
6因式分解:
(1)(2023·株洲中考)x2-2x+1= (x-1)2 .
(2)(2023·无锡中考)4-4x+x2= (2-x)2 .
(3)(2023·恩施州中考)a(a-2)+1= (a-1)2 .
7[教材再开发·P119练习T2变式]
分解因式:(1) 2a3-4a2+2a;
【解析】(1) 原式=2a(a2-2a+1)=2a(a-1)2.
(2) 3x3-12x2y+12xy2;
【解析】(2)原式=3x(x2-4xy+4y2)=3x(x-2y)2.
(3)-4a2b+12ab2-9b3;
【解析】(3)原式=-b(4a2-12ab+9b2)=-b(2a-3b)2.
(4) (a2+4)2-16a2.
【解析】(4)原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2 (a-2)2.
知识点3 用完全平方公式分解因式的应用
8若x+y=2,则多项式x2+2xy+2y2的值为 (C)
A.2 B.4 C.8 D.16
9求证:不论x,y为何值,整式x2y2-4xy+5总为正.
【证明】x2y2-4xy+5=(xy-2)2+1≥1>0.
即不论x,y为何值,
整式x2y2-4xy+5总为正值.
10下列各式分解因式正确的是 (A)
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2
B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2
C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y)
D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)
11若x2+6x+p=(x-q)2,则p,q的值分别为 (B)
A.6,6 B.9,-3 C.3,-3 D.9,3
12多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式最佳的是 (C)
A.4x B.-4x C.±4x D.-4x4
13(2024·太原期末)已知一个圆的面积为9πa2+6πab+πb2(a>0,b>0),则该圆的半径是(A)
A.3a+b B.9a+b C.3ab D.3πa+πb
14利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式是 a2+2ab+b2=(a+b)2 .
15我们知道,对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式可以用公式将它们分解成(x+a)2的形式,但是,对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接用完全平方公式,可以采用如下方法:
x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).
(1)以上这种因式分解方法的关键是 .
【解析】(1)配成完全平方式
(2)用上述方法把a2-8a+15因式分解.
【解析】(2)a2-8a+15=a2-8a+16-16+15=(a-4)2-1=(a-4+1)(a-4-1)=(a-3)(a-5).
16新概念·抽象能力、应用意识阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步).
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 .
A.提取公因式法 B.平方差公式法
C.完全平方公式法
【解析】(1)C
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果 .
【解析】(2)(x2-4x+4)2=(x-2)4.
答案:(x-2)4
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.
【解析】(3)设x2+2x=y,原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4.第2课时 运用完全平方公式因式分解
知识点1 完全平方式
1(2024·泉州期中)下列多项式中,不是两数和(差)的平方公式的是 ( )
A.4a2-4a-1 B.4a2+4a+1 C.a2-a+ D.a2+a+
2已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于 ( )
A.64 B.48 C.32 D.16
练易错 忽视完全平方公式中间项的符号可正可负而致错
3(2023·凉山州中考)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .
知识点2 用完全平方公式分解因式
4下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 ( )
A.x2+1
B.x2+2x-1
C.x2+x+1
D.x2+4x+4
5(2024·泉州期中)把a2-2a+1分解因式,正确的是 ( )
A.a(a-2)+1 B.(a+1)2
C.(a+1)(a-1) D.(a-1)2
6因式分解:
(1)(2023·株洲中考)x2-2x+1= .
(2)(2023·无锡中考)4-4x+x2= .
(3)(2023·恩施州中考)a(a-2)+1= .
7[教材再开发·P119练习T2变式]
分解因式:(1) 2a3-4a2+2a;
(2) 3x3-12x2y+12xy2;
(3)-4a2b+12ab2-9b3;
(4) (a2+4)2-16a2.
知识点3 用完全平方公式分解因式的应用
8若x+y=2,则多项式x2+2xy+2y2的值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
9求证:不论x,y为何值,整式x2y2-4xy+5总为正.
10下列各式分解因式正确的是 ( )
A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2
B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2
C.2x2-8y2=2(x+4y)(x-4y)
D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)
11若x2+6x+p=(x-q)2,则p,q的值分别为 ( )
A.6,6 B.9,-3 C.3,-3 D.9,3
12多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式最佳的是 ( )
A.4x B.-4x C.±4x D.-4x4
13(2024·太原期末)已知一个圆的面积为9πa2+6πab+πb2(a>0,b>0),则该圆的半径是( )
A.3a+b B.9a+b C.3ab D.3πa+πb
14利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式是 .
15我们知道,对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式可以用公式将它们分解成(x+a)2的形式,但是,对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接用完全平方公式,可以采用如下方法:
x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).
(1)以上这种因式分解方法的关键是 .
(2)用上述方法把a2-8a+15因式分解.
16新概念·抽象能力、应用意识阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步).
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 .
A.提取公因式法 B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果 .
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.
