第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2023·武汉中考)计算(2a2)3的结果是 ( )
A.2a6 B.6a5 C.8a5 D.8a6
2(2023·镇江中考)下列运算中,结果正确的是 ( )
A.2m2+m2=3m4 B.m2·m4=m8
C.m4÷m2=m2 D.(m2)4=m6
3下列因式分解正确的是 ( )
A.x2-y2=(x-y)2 B.-x2-y2=-(x+y)(x-y)
C.x2-2xy+4y2=(x-2y)2 D.-x2-2xy-y2=-(x+y)2
4若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则m+n的值为 ( )
A.5 B.-1 C.-5 D.1
5运用公式a2+2ab+b2=(a+b)2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解,公式中的a可以是 ( )
A.2x2 B.4x2 C.2x D.4x
6为了用乘法公式计算(2x-3y-4z)(2x-3y+4z),甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形,其中变形正确的是 ( )
A.[2x-(3y+4z)][2x-(3y-4z)] B.[(2x-3y)-4z][(2x-3y)+4z]
C.[(2x-4z)-3y][(2x+4z)-3y] D.[(2x-4z)+3y][(2x-4z)-3y]
7(2024·贵港期中)若a+b=3,a2+b2=7,则ab= ( )
A.-2 B.-1 C.2 D.1
8若x2+(m-1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解,则m的值为 ( )
A.-3 B.1 C.-3,1 D.-1,3
9(2024·温州期中)有两个正方形A,B,将A,B并列放置后构造新的图形,分别得到长方形图甲与正方形图乙.若图甲、图乙中阴影的面积分别为14与36,则正方形B的面积为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10定义:若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差,那么就称这个正整数为“明德数”.如:1=12-02,3=22-12,5=32-22,因此1,3,5这三个数都是“明德数”.则介于1到200之间的所有“明德数”之和为 ( )
A.10 000 B.40 000 C.200 D.2 500
二、填空题(每小题3分,共24分)
11(1)分解因式:3m2-3= .
(2)因式分解:(m+n)2-6(m+n)+9= .
12计算:(π-3)0+|-2 023|= .
13(2023·嘉兴、舟山中考)一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+1),请你写出一个符合条件的多项式: .
14已知3m+2n-3=0,则23m×4n的值是 .
15如果(m2+n2+1)与(m2+n2-1)的乘积为15,那么m2+n2的值为 .
16把一根20 cm长的铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形,若这两个正方形的面积之差是5 cm2,则这两段铁丝的长分别为 .
17(2023·济宁中考)已知实数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9= .
18(2023·大庆中考)1261年,我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表,人们将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与其对应的等式图,根据图中各式的规律,(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为 .
三、解答题(共46分)
19(8分)计算:(1)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y.
(2)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y).
20(8分)(2024·永州期末)已知(x2+mx+1)(x-n)的展开式中不含x项,x2项的系数为-2,求mn+m-n的值.
21(8分)为了提升居民的幸福指数,某居民小组规划将一长为(9a-1)米、宽为(3b-5)米的长方形场地打造成居民健身场所,如图所示,具体规划为:在这个场地中分割出一块长为(3a+1)米、宽为b米的长方形场地建篮球场,其余的地方安装各种健身器材.
(1)求安装健身器材的区域面积;
(2)若a=9,b=15,求篮球场的面积.
22(10分)请认真观察图形,解析下列问题:
(1)根据图1中条件,试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和.
方法1: ;
方法2: ;
(2)从中你能发现什么结论 请用等式表示出来: ;
(3)利用(2)中结论解决下面的问题:
如图2,两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=ab=7,求阴影部分的面积.
23(12分)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
将2a-3ab-4+6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:
方法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2);
方法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b).
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在式子的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解;
【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解;
【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,我们利用它验证了勾股定理.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b),斜边长是3,小正方形的面积是1.
根据以上信息,先将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解,再求值.
【附加题】(10分)
阅读材料:教科书中提到“a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”.有些多项式不是完全平方式,我们可以通过添加项,凑成完全平方式,再减去这个添加项,使整个式子的值不变,这样也可以将多项式进行分解,并解决一些最值问题.
例如:
①分解因式:x2-2x-3.
x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3
=(x-1)2-4
=(x-1)2-22
=(x-1+2)(x-1-2)
=(x+1)(x-3).
②求式子x2-2x-3的最小值.
x2-2x-3=x2-2x+1-4=(x-1)2-4,
∵(x-1)2≥0,
∴当x=1时,式子x2-2x-3有最小值-4.
结合以上材料解决下面的问题:
(1)分解因式:x2-6x+8;第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2023·武汉中考)计算(2a2)3的结果是 (D)
A.2a6 B.6a5 C.8a5 D.8a6
2(2023·镇江中考)下列运算中,结果正确的是 (C)
A.2m2+m2=3m4 B.m2·m4=m8
C.m4÷m2=m2 D.(m2)4=m6
3下列因式分解正确的是 (D)
A.x2-y2=(x-y)2 B.-x2-y2=-(x+y)(x-y)
C.x2-2xy+4y2=(x-2y)2 D.-x2-2xy-y2=-(x+y)2
4若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则m+n的值为 (B)
A.5 B.-1 C.-5 D.1
5运用公式a2+2ab+b2=(a+b)2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解,公式中的a可以是 (C)
A.2x2 B.4x2 C.2x D.4x
6为了用乘法公式计算(2x-3y-4z)(2x-3y+4z),甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形,其中变形正确的是 (B)
A.[2x-(3y+4z)][2x-(3y-4z)] B.[(2x-3y)-4z][(2x-3y)+4z]
C.[(2x-4z)-3y][(2x+4z)-3y] D.[(2x-4z)+3y][(2x-4z)-3y]
7(2024·贵港期中)若a+b=3,a2+b2=7,则ab= (D)
A.-2 B.-1 C.2 D.1
8若x2+(m-1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解,则m的值为 (D)
A.-3 B.1 C.-3,1 D.-1,3
9(2024·温州期中)有两个正方形A,B,将A,B并列放置后构造新的图形,分别得到长方形图甲与正方形图乙.若图甲、图乙中阴影的面积分别为14与36,则正方形B的面积为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
10定义:若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差,那么就称这个正整数为“明德数”.如:1=12-02,3=22-12,5=32-22,因此1,3,5这三个数都是“明德数”.则介于1到200之间的所有“明德数”之和为 (A)
A.10 000 B.40 000 C.200 D.2 500
二、填空题(每小题3分,共24分)
11(1)分解因式:3m2-3= 3(m+1)(m-1) .
(2)因式分解:(m+n)2-6(m+n)+9= (m+n-3)2 .
12计算:(π-3)0+|-2 023|= 2 024 .
13(2023·嘉兴、舟山中考)一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+1),请你写出一个符合条件的多项式: x2-1(答案不唯一) .
14已知3m+2n-3=0,则23m×4n的值是 8 .
15如果(m2+n2+1)与(m2+n2-1)的乘积为15,那么m2+n2的值为 4 .
16把一根20 cm长的铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形,若这两个正方形的面积之差是5 cm2,则这两段铁丝的长分别为 12 cm和8 cm .
17(2023·济宁中考)已知实数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9= 8 .
18(2023·大庆中考)1261年,我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表,人们将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与其对应的等式图,根据图中各式的规律,(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为 128 .
三、解答题(共46分)
19(8分)计算:(1)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y.
【解析】(1)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y=(x3y2-x2y-x2y+ x3y2) ÷3x2y
=(2 x3y2-2x2y) ÷3x2y=2 x3y2÷3x2y-2x2y÷3x2y=xy-.
(2)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y).
【解析】(2)(2x-3y) 2-(y+3x)(3x-y)=4x2-12xy+9y2-(9x2-y2)
=4x2-12xy+9y2-9x2+y2=-5x2-12xy+10y2.
20(8分)(2024·永州期末)已知(x2+mx+1)(x-n)的展开式中不含x项,x2项的系数为-2,求mn+m-n的值.
【解析】(x2+mx+1)(x-n)
=x3-nx2+mx2-mnx+x-n
=x3+(-n+m)x2+(-mn+1)x-n,
∵展开式中不含x项,x2项的系数为-2,
∴-mn+1=0,-n+m=-2,
整理得:mn=1,m-n=-2,
∴mn+m-n=1-2=-1.
21(8分)为了提升居民的幸福指数,某居民小组规划将一长为(9a-1)米、宽为(3b-5)米的长方形场地打造成居民健身场所,如图所示,具体规划为:在这个场地中分割出一块长为(3a+1)米、宽为b米的长方形场地建篮球场,其余的地方安装各种健身器材.
(1)求安装健身器材的区域面积;
【解析】(1)(9a-1)(3b-5)-b(3a+1)
=27ab-45a-3b+5-3ab-b
=(24ab-45a-4b+5)平方米,
答:安装健身器材的区域面积为(24ab-45a-4b+5)平方米.
(2)若a=9,b=15,求篮球场的面积.
【解析】(2)∵a=9,b=15,
∴b(3a+1)
=3ab+b
=3×9×15+15
=420(平方米).
答:篮球场的面积为420平方米.
22(10分)请认真观察图形,解析下列问题:
(1)根据图1中条件,试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和.
方法1: ;
方法2: ;
【解析】(1)由题意可得:方法1:a2+b2;
方法2:(a+b)2-2ab;
答案:a2+b2 (a+b)2-2ab
(2)从中你能发现什么结论 请用等式表示出来: ;
【解析】(2)a2+b2=(a+b)2-2ab;
答案:a2+b2=(a+b)2-2ab
(3)利用(2)中结论解决下面的问题:
如图2,两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=ab=7,求阴影部分的面积.
【解析】(3)∵S阴影=S正方形ABCD+S正方形CGFE-S△ABD-S△BGF=a2+b2-a2-(a+b)b,
∴S阴影=a2+b2-ab=[(a+b)2-2ab]-ab=14.
23(12分)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
将2a-3ab-4+6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:
方法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2);
方法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b).
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在式子的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解;
【解析】(1)原式=(x2-a2)+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1);
【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解;
【解析】(2)原式=(ax-bx)+(a2-2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+a-b);
【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,我们利用它验证了勾股定理.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b),斜边长是3,小正方形的面积是1.
根据以上信息,先将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解,再求值.
【解析】(3)原式=(a4+2a2b2+b4)-(2ab3+2a3b)=(a2+b2)2-2ab(a2+b2)=
(a2+b2)(a2+b2-2ab)=(a2+b2)(a-b)2,∵a2+b2=9,(a-b)2=1,∴原式=9.
【附加题】(10分)
阅读材料:教科书中提到“a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”.有些多项式不是完全平方式,我们可以通过添加项,凑成完全平方式,再减去这个添加项,使整个式子的值不变,这样也可以将多项式进行分解,并解决一些最值问题.
例如:
①分解因式:x2-2x-3.
x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3
=(x-1)2-4
=(x-1)2-22
=(x-1+2)(x-1-2)
=(x+1)(x-3).
②求式子x2-2x-3的最小值.
x2-2x-3=x2-2x+1-4=(x-1)2-4,
∵(x-1)2≥0,
∴当x=1时,式子x2-2x-3有最小值-4.
结合以上材料解决下面的问题:
(1)分解因式:x2-6x+8;
【解析】(1)x2-6x+8
=x2-6x+9-1
=(x-3)2-12
=(x-3+1)(x-3-1)
=(x-2)(x-4);
(2)当x为何值时,x2-6x+8有最小值 最小值是多少
【解析】(2)∵x2-6x+8=(x-3)2-1,
∴当x=3时,原式最小值为-1.
