第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1(2023·攀枝花中考)以下因式分解正确的是 ( )
A.ax2-a=a(x2-1)
B.m3+m=m(m2+1)
C.x2+2x-3=x(x+2)-3
D.x2+2x-3=(x-3)(x+1)
2(2024·泉州模拟)对于非零实数a,下列运算一定正确的是 ( )
A.a3·a2=a5 B.(a3)2=a9
C.a6÷a2=a3 D.(3a)2=6a2
3如图,将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图,根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是 ( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.a2-2ab+b2=(a-b)2
C.a2+2ab+b2=(a+b)2
D.(a+b)2-4ab=a-b
4计算()2 024×(-)2 023的结果是 ( )
A. B. C.- D.-
5(2024·株洲期中)若xm=5,xn=,则x2m-n= ( )
A. B.40 C. D.100
6(2024·天津期末)已知x+y=9,xy=20,则(x-y)2的值为 ( )
A.9 B.1 C.5 D.7
7当m为自然数时,(4m+5)2-9一定能被下列哪个数整除 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8我国宋代数学家杨辉发现了(a+b)n(n=0,1,2,3,…)展开式系数的规律:
以上系数三角表称为“杨辉三角”,根据上述规律,(a+b)6展开式的系数和是 ( )
A.32 B.64 C.88 D.128
二、填空题
9(2023·西宁中考)计算:3a2b·(-a)2= .
10(2023·抚顺中考)分解因式:2m2-18= .
11如果二次三项式x2+mx+16是一个完全平方式,那么常数m的值是 .
12若x2-4x+1=0,则x2+= .
13(2023·凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2 027的值等于 .
三、解答题
14计算:
(1)a3·a5+(a2)4+(-2a4)2;
(2)2(x+1)2-(x+3)(x-3);
(3)(3a3b-12a2b2-6ab3)÷(-3ab)-4ab.
15分解因式:
(1)a3-ab2;
(2)3ax2-6axy+3ay2;
(3)9a2(x-y)+4b2(y-x).
16 (1)某学校准备在一块长为(4a+3b)米,宽为(3a+2b)米的长方形空地上修建一块长为(2a+3b)米,宽为(6a-b)米的长方形草地,四周铺设地砖(阴影部分),求铺设地砖的面积(用含a,b的式子表示,结果化为最简).
(2)已知a+b=7,(a-2)(b-2)=2.求a2-3ab+b2的值.
17(2024·大连期末)【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考:
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式,如何将这种类型的式子进行因式分解呢
在第102页的练习第2题中,我们发现,(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出:
(x+p)(x+q)
=x2+px+qx+pq
=x2+(p+q)x+pq.
因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).①
利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如,将式子x2+3x+2分解因式.这个式子的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.利用①式可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).
上述分解因式x2+3x+2的过程,也可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(图1).
这样,我们也可以得到x2+3x+2= (x+1)(x+2).
利用上面的结论,可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式:
(1)分解因式:y2+7y-18= ;
【知识应用】
(2)x2+mx+3=(x+n)(x-3),则m= ,n= ;
【拓展提升】
(3)如果x2+mx+6=(x+p)(x+q),其中m,p,q均为整数,求m的值.第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1(2023·攀枝花中考)以下因式分解正确的是 (B)
A.ax2-a=a(x2-1)
B.m3+m=m(m2+1)
C.x2+2x-3=x(x+2)-3
D.x2+2x-3=(x-3)(x+1)
2(2024·泉州模拟)对于非零实数a,下列运算一定正确的是 (A)
A.a3·a2=a5 B.(a3)2=a9
C.a6÷a2=a3 D.(3a)2=6a2
3如图,将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图,根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是 (B)
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.a2-2ab+b2=(a-b)2
C.a2+2ab+b2=(a+b)2
D.(a+b)2-4ab=a-b
4计算()2 024×(-)2 023的结果是 (C)
A. B. C.- D.-
5(2024·株洲期中)若xm=5,xn=,则x2m-n= (D)
A. B.40 C. D.100
6(2024·天津期末)已知x+y=9,xy=20,则(x-y)2的值为 (B)
A.9 B.1 C.5 D.7
7当m为自然数时,(4m+5)2-9一定能被下列哪个数整除 (D)
A.5 B.6 C.7 D.8
8我国宋代数学家杨辉发现了(a+b)n(n=0,1,2,3,…)展开式系数的规律:
以上系数三角表称为“杨辉三角”,根据上述规律,(a+b)6展开式的系数和是 (B)
A.32 B.64 C.88 D.128
二、填空题
9(2023·西宁中考)计算:3a2b·(-a)2= 3a4b .
10(2023·抚顺中考)分解因式:2m2-18= 2(m+3)(m-3) .
11如果二次三项式x2+mx+16是一个完全平方式,那么常数m的值是 ±8 .
12若x2-4x+1=0,则x2+= 14 .
13(2023·凉山州中考)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2 027的值等于 2 023 .
三、解答题
14计算:
(1)a3·a5+(a2)4+(-2a4)2;
【解析】(1)a3·a5+(a2)4+(-2a4)2
=a8+a8+4a8
=6a8.
(2)2(x+1)2-(x+3)(x-3);
【解析】(2)2(x+1)2-(x+3)(x-3)
=2(x2+2x+1)-(x2-9)
=2x2+4x+2-x2+9
=x2+4x+11.
(3)(3a3b-12a2b2-6ab3)÷(-3ab)-4ab.
【解析】(3)(3a3b-12a2b2-6ab3)÷(-3ab)-4ab
=-a2+4ab+2b2-4ab
=-a2+2b2.
15分解因式:
(1)a3-ab2;
【解析】(1)a3-ab2
=a(a2-b2)
=a(a+b)(a-b).
(2)3ax2-6axy+3ay2;
【解析】(2)3ax2-6axy+3ay2
=3a(x2-2xy+y2)
=3a(x-y)2.
(3)9a2(x-y)+4b2(y-x).
【解析】(3)9a2(x-y)+4b2(y-x)
=9a2(x-y)-4b2(x-y)
=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
16 (1)某学校准备在一块长为(4a+3b)米,宽为(3a+2b)米的长方形空地上修建一块长为(2a+3b)米,宽为(6a-b)米的长方形草地,四周铺设地砖(阴影部分),求铺设地砖的面积(用含a,b的式子表示,结果化为最简).
【解析】(1)根据题意得(4a+3b)(3a+2b)-(2a+3b)(6a-b)
=12a2+8ab+9ab+6b2-(12a2-2ab+18ab-3b2)
=12a2+8ab+9ab+6b2-12a2+2ab-18ab+3b2
=(ab+9b2)平方米,
所以铺设地砖的面积为(ab+9b2)平方米.
(2)已知a+b=7,(a-2)(b-2)=2.求a2-3ab+b2的值.
【解析】(2)∵a+b=7,
(a-2)(b-2)=2,
∴(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4,
∴ab-2×7+4=2,∴ab=12,
∴a2-3ab+b2=a2+2ab+b2-5ab=(a+b)2-5ab=72-5×12=-11.
17(2024·大连期末)【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考:
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式,如何将这种类型的式子进行因式分解呢
在第102页的练习第2题中,我们发现,(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出:
(x+p)(x+q)
=x2+px+qx+pq
=x2+(p+q)x+pq.
因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).①
利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.例如,将式子x2+3x+2分解因式.这个式子的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.利用①式可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).
上述分解因式x2+3x+2的过程,也可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(图1).
这样,我们也可以得到x2+3x+2= (x+1)(x+2).
利用上面的结论,可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式:
(1)分解因式:y2+7y-18= ;
【解析】(1)y2+7y-18=(y-2)(y+9);
答案:(y-2)(y+9)
【知识应用】
(2)x2+mx+3=(x+n)(x-3),则m= ,n= ;
【拓展提升】
【解析】(2)已知等式整理得x2+mx+3=(x+n)(x-3)=x2+(n-3)x-3n,
∴m=n-3,-3n=3,
解得m=-4,n=-1;
答案:-4 -1
(3)如果x2+mx+6=(x+p)(x+q),其中m,p,q均为整数,求m的值.
【解析】(3)已知等式整理得x2+mx+6=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,
∴m=p+q,pq=6,∵m,p,q均为整数,
∴p=2,q=3,m=5或p=-2,q=-3,m=-5或p=1,q=6,m=7或p=-1,q=-6,m=-7,
综上,m=5或-5或7或-7.
