第十五章 分式
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列式子:-3x,,,-,a-2b,其中是分式的有 (B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2(2024·滨州期末)如果把分式中的m和n都扩大3倍,那么分式的值 (C)
A.扩大6倍 B.缩小到原来的 C.不变 D.扩大3倍
3下列等式是四位同学解方程-1=过程中去分母的一步,其中正确的是 (D)
A.x-1=2x B.x-1=-2
C.x-x-1=-2x D.x-x+1=-2x
4若a=-0.32,b=-3-2,c=,d=,则大小关系正确的是 (B)
A.a
5(2023·东营中考)为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花费6 000元购进第一批面粉,用完后学校又花费9 600元购进了第二批面粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍,但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克,依题意所列方程正确的是 (A)
A.-=0.4 B.-=0.4
C.-=0.4 D.-=0.4
6(2024·抚顺期末)下列关于分式的判断,正确的是 (D)
A.当x=3时,的值为0 B.当x≠3时,有意义
C.无论x为何值,不可能是整数 D.无论x为何值,的值总为正数
7若+=2,则的值为 (B)
A.4 B.-4 C.3 D.-3
8关于x的分式方程=1的解为负数,则a的取值范围是 (D)
A.a>1 B.a<1
C.a<1且a≠-2 D.a>1且a≠2
9对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Min{a,b}表示a,b中的较小的值,如Min{2,4}=2,按照这个规定,方程Min=-2的解为 (A)
A.0 B.0或2 C.无解 D.不确定
10(2023·济宁中考)已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an满足如下关系:a2=, a3=,a4=,an+1=,若a1=2,则a2 023的值是 (A)
A.- B. C.-3 D.2
二、填空题(每小题3分,共24分)
112023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次航天员们将在空间站进行“空间蛋白质分子组装与应用研究”等一系列科学实验.其中某一蛋白质分子的直径仅0.000 000 028米,这个数用科学记数法表示为 2.8×10-8 米.
12分式方程=的解为 x=2 .
13(2024·淮安期末)已知a-b=-3ab,则-= 3 .
14有一个分式,三位同学分别说出了它的一个特点,
甲:分式的值不可能为0;
乙:分式有意义时x的取值范围是x≠±1;
丙:当x=-2时,分式的值为1.
请你写出满足上述全部特点的一个分式: (答案不唯一) .
15已知=+,则实数A= 1 .
16若(x-y-2)2+|xy+3|=0,则÷的值是 - .
17(2024·石家庄期末)已知关于x的分式方程=+2.
(1)若m=4,分式方程的解为 x=2 ;
(2)若分式方程无解,则m的值为 3 .
18数学的美无处不在,数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度,如三根弦长之比为15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将分别发出很调和的乐声:do,mi,sol,研究15,12,10这三个数的倒数发现:-=-,此时我们称15,12,10为一组调和数,现有三个数:6,4,x(x>4),若要组成调和数,则x的值为 12或 .
三、解答题(共46分)
19(6分)计算或化简:
(1)(-1)2 024-|-7|+×(-π)0+. (2)÷.
【解析】(1)原式=1-7+3×1+5=2.
(2)原式=÷=·=.
20(6分)解方程:(1)-1=; (2)+=1.
【解析】(1)方程两边同乘(x+3)(x-3),得x(x+3)-(x+3)(x-3)=18,
化简得3x+9=18,
解得x=3,
经检验x=3是增根,原分式方程无解.
(2)方程两边同乘x(x+1)得:x2+3(x+1)=x(x+1),
解得:x=-,
经检验,x=-是原方程的解,
∴原方程的解为x=-.
21(8分)(2023·张家界中考)先化简(x-1-)÷,然后从-1,1,2这三个数中选一个合适的数代入求值.
【解析】(x-1-)÷
=[-]·
=·
=x+1,
∵x+1≠0,x2+2x+1≠0,x2-4≠0,
∴x≠-1,x≠±2,
将x=1代入上式,得:原式=1+1=2.
22(8分)某中学在商场购买甲、乙两种不同的足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
【解析】(1)设购买一个甲种足球需x元,则购买一个乙种足球需(x+20)元,
由题意得=×2,解得x=50,
经检验:x=50是原方程的解,且符合题意,
则x+20=50+20=70,
答:购买一个甲种足球需50元,购买一个乙种足球需70元.
(2)为响应“足球进校园”的号召,该中学决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了20%,如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 780元,那么该中学最多可购买多少个乙种足球
【解析】(2)甲种足球现在的售价为50×(1+10%)=55(元),
乙种足球现在的售价为70×(1-20%)=56(元),
设该中学购买a个乙种足球,
由题意得:56a+55(50-a)≤2 780,
解得a≤30.
答:该中学最多可购买30个乙种足球.
23(8分)若分式A,B的和化简后是整式,则称A,B是一对整合分式.
(1)判断与是否是一对整合分式,并说明理由.
(2)已知分式M,N是一对整合分式,M=,请写出两个符合题意的分式N.
【解析】(1)是一对整合分式,理由如下:
∵+===x,满足一对整合分式的定义,
∴与是一对整合分式.
(2)答案不唯一,如:若设M+N=1,则N=1-M=1-==;
若设M+N=0,则N=-M=-=,
∴符合题意的分式N有或.
24(10分)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13 200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件
【解析】(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件,
则购进第二批这种衬衫是2x件,
依题意可得+10=,解得x=120.
经检验,x=120是原方程的解,且符合题意.
答:该商家购进的第一批衬衫是120件.
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元
【解析】(2)x+2x=3x=3×120=360(件),
设每件衬衫的标价为y元,
依题意有(360-50)y+50×0.8y≥(13 200+28 800)×(1+25%),解得y≥150.
答:每件衬衫的标价至少是150元.
【附加题】(10分)
我们定义:如果两个分式A与B的差为常数,且这个常数为正数,则称A是B的“和雅式”,这个常数称为A关于B的“和雅值”.
如分式A=,B=,A-B=-===2,则A是B的“和雅式”,A关于B的“和雅值”为2.
(1)已知分式C=,D=,判断C是否为D的“和雅式”,若不是,请说明理由;若是,请证明并求出C关于D的“和雅值”;
【解析】(1)C不是D的“和雅式”;
理由:∵C-D=-===-1<0,∴C不是D的“和雅式”;
(2)已知分式M=,N=,M是N的“和雅式”,且M关于N的“和雅值”是1,求a+b的值;
【解析】(2)由题意得:M-N=1,∴-=1,∴(2-a+b)x=b,
∴2-a+b=b=0,解得:a=2,b=0,∴a+b=2;
(3)已知分式P=,Q=,P是Q的“和雅式”,且P关于Q的“和雅值”是1,x为整数,且“和雅式”P的值也为整数,求E所代表的式子及所有符合条件的x的值之和.
【解析】(3)由题意得:P-Q=1,∴-=1,∴E=3x+9,
∵P==为整数,x为整数,∴3-x的值为±1或±3,
∴x的值为0,2,4,6,∴0+2+4+6=12,
所以所有符合条件的x的值之和为12. 第十五章 分式
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列式子:-3x,,,-,a-2b,其中是分式的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2(2024·滨州期末)如果把分式中的m和n都扩大3倍,那么分式的值 ( )
A.扩大6倍 B.缩小到原来的 C.不变 D.扩大3倍
3下列等式是四位同学解方程-1=过程中去分母的一步,其中正确的是 ( )
A.x-1=2x B.x-1=-2
C.x-x-1=-2x D.x-x+1=-2x
4若a=-0.32,b=-3-2,c=,d=,则大小关系正确的是 ( )
A.a5(2023·东营中考)为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花费6 000元购进第一批面粉,用完后学校又花费9 600元购进了第二批面粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍,但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克,依题意所列方程正确的是 ( )
A.-=0.4 B.-=0.4
C.-=0.4 D.-=0.4
6(2024·抚顺期末)下列关于分式的判断,正确的是 ( )
A.当x=3时,的值为0 B.当x≠3时,有意义
C.无论x为何值,不可能是整数 D.无论x为何值,的值总为正数
7若+=2,则的值为 ( )
A.4 B.-4 C.3 D.-3
8关于x的分式方程=1的解为负数,则a的取值范围是 ( )
A.a>1 B.a<1
C.a<1且a≠-2 D.a>1且a≠2
9对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Min{a,b}表示a,b中的较小的值,如Min{2,4}=2,按照这个规定,方程Min=-2的解为 ( )
A.0 B.0或2 C.无解 D.不确定
10(2023·济宁中考)已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an满足如下关系:a2=, a3=,a4=,an+1=,若a1=2,则a2 023的值是 ( )
A.- B. C.-3 D.2
二、填空题(每小题3分,共24分)
112023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次航天员们将在空间站进行“空间蛋白质分子组装与应用研究”等一系列科学实验.其中某一蛋白质分子的直径仅0.000 000 028米,这个数用科学记数法表示为 米.
12分式方程=的解为 .
13(2024·淮安期末)已知a-b=-3ab,则-= .
14有一个分式,三位同学分别说出了它的一个特点,
甲:分式的值不可能为0;
乙:分式有意义时x的取值范围是x≠±1;
丙:当x=-2时,分式的值为1.
请你写出满足上述全部特点的一个分式: .
15已知=+,则实数A= .
16若(x-y-2)2+|xy+3|=0,则÷的值是 .
17(2024·石家庄期末)已知关于x的分式方程=+2.
(1)若m=4,分式方程的解为 ;
(2)若分式方程无解,则m的值为 .
18数学的美无处不在,数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度,如三根弦长之比为15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将分别发出很调和的乐声:do,mi,sol,研究15,12,10这三个数的倒数发现:-=-,此时我们称15,12,10为一组调和数,现有三个数:6,4,x(x>4),若要组成调和数,则x的值为 .
三、解答题(共46分)
19(6分)计算或化简:
(1)(-1)2 024-|-7|+×(-π)0+. (2)÷.
20(6分)解方程:(1)-1=; (2)+=1.
21(8分)(2023·张家界中考)先化简(x-1-)÷,然后从-1,1,2这三个数中选一个合适的数代入求值.
22(8分)某中学在商场购买甲、乙两种不同的足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
(2)为响应“足球进校园”的号召,该中学决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了20%,如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 780元,那么该中学最多可购买多少个乙种足球
23(8分)若分式A,B的和化简后是整式,则称A,B是一对整合分式.
(1)判断与是否是一对整合分式,并说明理由.
(2)已知分式M,N是一对整合分式,M=,请写出两个符合题意的分式N.
24(10分)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13 200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元
【附加题】(10分)
我们定义:如果两个分式A与B的差为常数,且这个常数为正数,则称A是B的“和雅式”,这个常数称为A关于B的“和雅值”.
如分式A=,B=,A-B=-===2,则A是B的“和雅式”,A关于B的“和雅值”为2.
(1)已知分式C=,D=,判断C是否为D的“和雅式”,若不是,请说明理由;若是,请证明并求出C关于D的“和雅值”;
(2)已知分式M=,N=,M是N的“和雅式”,且M关于N的“和雅值”是1,求a+b的值;
(3)已知分式P=,Q=,P是Q的“和雅式”,且P关于Q的“和雅值”是1,x为整数,且“和雅式”P的值也为整数,求E所代表的式子及所有符合条件的x的值之和.