11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
知识点1 三角形的高
1(2024·东莞期中)下列各图中,正确画出AC边上的高的是 ( )
2如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则 ( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高
B.线段CD是△ABC的AB边上的高
C.线段AD是△ABC的BC边上的高
D.线段AD是△ABC的AC边上的高
3下列说法错误的是 ( )
A.锐角三角形的三条高交于一点
B.直角三角形只有一条高
C.钝角三角形有两条高在三角形的外部
D.任意三角形都有三条高
知识点2 三角形的中线
4(2024·杭州模拟)如图,AD是△ABC的中线,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=AC B.BD=CD
C.BD=AD D.AC=AD
5王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 ( )
A.角平分线 B.中线
C.高 D.任意一条线
6如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD为BC边上的中线,若△ACD的周长为8,则△ABD的周长是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.12
知识点3 三角形的角平分线
7如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是 ( )
A.20° B.30° C.45° D.60°
8如图,∠1=∠2=∠3=∠4,则 是△ABD的角平分线; 是△ADC的角平分线;AD是△ 的角平分线.
9如图,用三角板作△ABC的边AB上的高,下列三角板的摆放位置正确的是( )
10 (2024·广州期中)如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,下列结论不一定成立的是 ( )
A.BE=CE
B.AB=2AF
C.∠AFB=90°
D.∠BAD=∠BAC
11如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B'的位置,则线段AC具有的性质是 ( )
A.边BB'上的中线
B.边BB'上的高
C.∠BAB'的平分线
D.以上三种性质都具备
12如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是
.
13如图所示方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,点B,点C在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC中边BC上的高AD;
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE;
(3)直接写出△ABE的面积为 .
14(2024·温州质检)如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC中点,∠ACB=50°,∠BAD=70°.
(1)求∠AEC的度数;
(2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值 若能,请写出理由和结果;若不能,请你补充条件并解答.
15新趋势·几何直观如图,请你在△ABC上画三条线段,把这个三角形分成面积相等的四部分,看谁的方法多 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
知识点1 三角形的高
1(2024·东莞期中)下列各图中,正确画出AC边上的高的是 (A)
2如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则 (B)
A.线段CD是△ABC的AC边上的高
B.线段CD是△ABC的AB边上的高
C.线段AD是△ABC的BC边上的高
D.线段AD是△ABC的AC边上的高
3下列说法错误的是 (B)
A.锐角三角形的三条高交于一点
B.直角三角形只有一条高
C.钝角三角形有两条高在三角形的外部
D.任意三角形都有三条高
知识点2 三角形的中线
4(2024·杭州模拟)如图,AD是△ABC的中线,则下列结论一定正确的是 (B)
A.AB=AC B.BD=CD
C.BD=AD D.AC=AD
5王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 (B)
A.角平分线 B.中线
C.高 D.任意一条线
6如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD为BC边上的中线,若△ACD的周长为8,则△ABD的周长是 (B)
A.8 B.9 C.10 D.12
知识点3 三角形的角平分线
7如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是 (A)
A.20° B.30° C.45° D.60°
8如图,∠1=∠2=∠3=∠4,则 AE 是△ABD的角平分线; AF 是△ADC的角平分线;AD是△ ABC 的角平分线.
9如图,用三角板作△ABC的边AB上的高,下列三角板的摆放位置正确的是(B)
10 (2024·广州期中)如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,下列结论不一定成立的是 (B)
A.BE=CE
B.AB=2AF
C.∠AFB=90°
D.∠BAD=∠BAC
11如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B'的位置,则线段AC具有的性质是 (D)
A.边BB'上的中线
B.边BB'上的高
C.∠BAB'的平分线
D.以上三种性质都具备
12如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是
2 .
13如图所示方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,点B,点C在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC中边BC上的高AD;
【解析】(1)如图所示,线段AD即为所求;
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE;
【解析】(2)如图所示,线段BE即为所求;
(3)直接写出△ABE的面积为 .
【解析】(3)S△ABC=BC·AD=×4×4=8.
∴S△ABE=S△ABC=4.
答案:4
14(2024·温州质检)如图,AD是△ABC的高,CE是△ACB的角平分线,F是AC中点,∠ACB=50°,∠BAD=70°.
(1)求∠AEC的度数;
【解析】(1)∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=90°,
∵∠BAD=70°,
∴∠ABC=90°-70°=20°,
∵CE是△ACB的角平分线,∠ACB=50°,
∴∠ECB=∠ACB=×50°=25°,
∴∠AEC=∠ABC+∠ECB=20°+25°=45°;
(2)若△BCF与△BAF的周长差为3,AB=7,能否求出BC的值 若能,请写出理由和结果;若不能,请你补充条件并解答.
【解析】(2)能求出BC的值,理由如下:
∵F是AC中点,
∴AF=FC,
∵△BCF与△BAF的周长差为3,
∴(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,
∴BC-AB=3,
∵AB=7,
∴BC=3+7=10.
15新趋势·几何直观如图,请你在△ABC上画三条线段,把这个三角形分成面积相等的四部分,看谁的方法多
【解析】因为“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”,所以可以从三角形的中线入手,利用“三角形等底等高必等积”进行分析.如图所示:
