第2课时 直角三角形的两个锐角互余
1(2024·株洲期末)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为 ( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
2在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A= ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=36°,那么∠B的度数为 .
4[教材再开发·P14练习T2变式]如图,△ABC中,∠C=90°,点E,D分别在边AC,AB上,若∠1=∠B,则∠EDB= .
5[教材再开发·P14例3变式]如图,∠C=∠A=90°,∠B=25°,则∠D的度数是 ( )
A.55° B.35° C.25° D.20°
6新课标·生命安全与健康 (2023·衢州中考)如图是脊柱侧弯的检测示意图,在体检时为方便测出cobb角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图中与∠O相等的角是 ( )
A.∠BEA B.∠DEB
C.∠ECA D.∠ADO
7(2024·东莞期中)下列条件中:①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7,③∠A=∠B=∠C,④∠A=90°-∠B能确定△ABC是直角三角形的有 ( )
A.①②③ B.①②④
C.②④ D.①②③④
8[教材再开发·P12例1改编]在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 .
9新趋势·几何直观在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AC,BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,求∠α,∠1,∠2之间的数量关系.11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和定理
1在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为 (A)
A.60° B.50°
C.40° D.30°
2(2023·聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 (B)
A.65° B.75° C.85° D.95°
3△ABC的三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则这个三角形是 (C)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4(2024·汕头期中)如图,已知AB,CD交于点O,∠A=19°,∠B=35°,∠C=29°,则∠D的度数是 45° .
5在△ABC中,已知∠B=3∠A,∠C=5∠A,则∠A= 20° ,∠B= 60° ,
∠C= 100° .
6[教材再开发·P12例1变式]如图,在△ABC中,∠BAC=95°,∠B=25°,∠CAD=75°,求∠ADC的度数.
【解析】∵∠BAC=95°,∠B=25°,
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=60°,
∵∠CAD=75°,
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°.
练易错 忽视对三角形形状的讨论
7(2024·合肥期中)在△ABC中,∠A=40°,BD为AC边上的高,若∠CBD=10°,则∠ABC的度数为 40°或60° .
8 (2024·广州期中)如图,摆放一副形状不同的三角板,其中∠A=30°,AC,EF所夹的钝角的度数是 (D)
A.15° B.135°
C.150° D.165°
9[教材再开发·P12例2变式]如图,李明同学在东西方向的滨海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,他向东走400米至B处,测得灯塔P在北偏东30°方向上,则从灯塔P观测A,B两处的视角∠P的度数是 (A)
A.30° B.32° C.35° D.40°
10如图,△ABC中,∠B=37°,∠C=67°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.则∠DAE的度数为 15° .
11新中考·数学文化·2023株洲中考《周礼·考工记》中记载有“…半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”.即:1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 22.5 °.
12(2024·武汉期中)如图,在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,它们相交于点F,∠BAC=58°,∠C=72°,求∠DAC和∠AFB的度数.
【解析】∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,
∵∠BAC=58°,∠C=72°,
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°,
∠DAC=180°-∠ADC-∠C=18°,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠ABC=25°,
∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAD=115°.
13新趋势·模型观念【问题背景】一次数学综合实践活动课上,老师提出了一个问题:如何证明三角形内角和等于180°,小红的证明思路是:如图1,在△ABC中,过点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来证明∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:过A点作DE∥BC.
(1)请按照小红同学的思路继续完成证明过程.
【解析】(1)过A点作DE∥BC,
∴∠DAB=∠B,∠CAE=∠C,
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°;
(2)【尝试运用】如图2,若DE∥BC且经过A点,F为BC延长线上一点,AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,AH与CH交于点H,求∠AHC的大小.
【解析】(2)∵DE∥BC,∴∠EAC+∠FCA=180°,
∵AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,
∴∠HAC=∠EAC,∠ACH=∠FCA,
∴∠HAC+∠ACH=∠EAC+∠FCA
=(∠EAC+∠FCA)=×180°=90°,
∵∠HAC+∠ACH+∠AHC=180°,
∴∠AHC=180°-(∠HAC+∠ACH)=180°-90°=90°;
(3)【拓广探索】如图3,在△ABC中,点F是BC延长线上的一点,CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,CH与BH交于点H.若∠A=50°,求∠H的大小.
【解析】(3)∵CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,
∴∠HBC=∠ABC,∠HCF=∠ACF,
∵∠ACF=∠A+∠ABC,∠HCF=∠HBC+∠H,
∴∠H=∠HCF-∠HBC
=∠ACF-∠ABC
=(∠A+∠ABC)-∠ABC
=∠A+∠ABC-∠ABC
=∠A
=25°.11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和定理
1在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为 ( )
A.60° B.50°
C.40° D.30°
2(2023·聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
3△ABC的三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4(2024·汕头期中)如图,已知AB,CD交于点O,∠A=19°,∠B=35°,∠C=29°,则∠D的度数是 .
5在△ABC中,已知∠B=3∠A,∠C=5∠A,则∠A= ,∠B= ,
∠C= .
6[教材再开发·P12例1变式]如图,在△ABC中,∠BAC=95°,∠B=25°,∠CAD=75°,求∠ADC的度数.
练易错 忽视对三角形形状的讨论
7(2024·合肥期中)在△ABC中,∠A=40°,BD为AC边上的高,若∠CBD=10°,则∠ABC的度数为 .
8 (2024·广州期中)如图,摆放一副形状不同的三角板,其中∠A=30°,AC,EF所夹的钝角的度数是 ( )
A.15° B.135°
C.150° D.165°
9[教材再开发·P12例2变式]如图,李明同学在东西方向的滨海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,他向东走400米至B处,测得灯塔P在北偏东30°方向上,则从灯塔P观测A,B两处的视角∠P的度数是 ( )
A.30° B.32° C.35° D.40°
10如图,△ABC中,∠B=37°,∠C=67°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线.则∠DAE的度数为 .
11新中考·数学文化·2023株洲中考《周礼·考工记》中记载有“…半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”.即:1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= °.
12(2024·武汉期中)如图,在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,它们相交于点F,∠BAC=58°,∠C=72°,求∠DAC和∠AFB的度数.
13新趋势·模型观念【问题背景】一次数学综合实践活动课上,老师提出了一个问题:如何证明三角形内角和等于180°,小红的证明思路是:如图1,在△ABC中,过点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来证明∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:过A点作DE∥BC.
(1)请按照小红同学的思路继续完成证明过程.
(2)【尝试运用】如图2,若DE∥BC且经过A点,F为BC延长线上一点,AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,AH与CH交于点H,求∠AHC的大小.
(3)【拓广探索】如图3,在△ABC中,点F是BC延长线上的一点,CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,CH与BH交于点H.若∠A=50°,求∠H的大小.第2课时 直角三角形的两个锐角互余
1(2024·株洲期末)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为 (C)
A.40° B.45°
C.50° D.60°
2在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A= (B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
3如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=36°,那么∠B的度数为 54° .
4[教材再开发·P14练习T2变式]如图,△ABC中,∠C=90°,点E,D分别在边AC,AB上,若∠1=∠B,则∠EDB= 90° .
5[教材再开发·P14例3变式]如图,∠C=∠A=90°,∠B=25°,则∠D的度数是 (C)
A.55° B.35° C.25° D.20°
6新课标·生命安全与健康 (2023·衢州中考)如图是脊柱侧弯的检测示意图,在体检时为方便测出cobb角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图中与∠O相等的角是 (B)
A.∠BEA B.∠DEB
C.∠ECA D.∠ADO
7(2024·东莞期中)下列条件中:①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶7,③∠A=∠B=∠C,④∠A=90°-∠B能确定△ABC是直角三角形的有 (B)
A.①②③ B.①②④
C.②④ D.①②③④
8[教材再开发·P12例1改编]在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 18° .
9新趋势·几何直观在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AC,BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
【解析】(1)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠α=60°,
∴∠APD+∠BPE=180°-60°=120°,
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,
∴∠1+∠2=180°-∠APD-∠A+180°-∠B-∠BPE
=360°-(∠APD+∠BPE+∠A+∠B)=360°-(120°+90°)=150°,
∴∠1+∠2=150°;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,求∠α,∠1,∠2之间的数量关系.
【解析】(2)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠α+∠APD+∠BPE=180°,∴∠APD+∠BPE=180°-∠α,
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,
∴∠1+∠2=180°-∠APD-∠A+180°-∠B-∠BPE
=360°-(180°-∠α+90°)=90°+∠α,
∴∠1+∠2=90°+∠α.
