11.3.2 多边形的内角和
知识点1 多边形的内角和
1新课标·中国优秀传统文化图1是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔,它巍峨挺拔,雄伟壮观,始建于北周年间,是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一.燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔,十三层均为正八边形砖木结构,图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图,其内角和为 ( )
A.135° B.360°
C.1 080° D.1 440°
2[教材再开发·P24练习T1(3)变式]下面的图形中,x的值为 ( )
A.103 B.105
C.115 D.133
3(2023·济宁中考)一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是 边形.
知识点2 多边形的外角和
4正五边形的外角和为 ( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
5如图是一个窗户造型,为正八边形,则∠1= .
6(2023·扬州中考)如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数
为 .
7(2024·荆州期中)“花影遮墙,峰峦叠窗”,苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂中的部分图案.若∠1=∠2=75°,∠3=∠4=65°,则∠5= °.
8(2024·广州期中)如果正n边形的一个内角与外角的比是5∶1,那么n= .
9在同一平面内,将正六边形和正五边形按如图所示的方式放置,则∠α的度数为
( )
A.132° B.142° C.122° D.152°
10如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°…照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走了 ( )
A.80米 B.96米 C.64米 D.48米
11一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是( )
A.12 B.13 C.14 D.15
12一个多边形外角和是内角和的,则这个多边形的边数为 .
13如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO= .
14[教材再开发·P24习题T3拓展]若一个多边形的内角和与外角和相加是1 800°,则此多边形是几边形
15新课标·项目式学习(1)问题发现:小红在数学课上学习了外角的相关知识后,她很容易地证明了三角形外角的性质,即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,于是,爱思考的小红在想,四边形的外角是否也具有类似的性质呢
如图①,∠1,∠2是四边形ABCD的两个外角.
∵四边形ABCD的内角和是360°,
∴∠A+∠D+∠3+∠4=360°,
又∵∠1+∠3+∠2+∠4=360°,
由此可得∠1,∠2与∠A,∠D的数量关系是 ;
(2)总结归纳:如果我们把∠1,∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式;
(3)知识应用:如图②,已知四边形ABCD,AE,DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线,若∠B+∠C=230°,求∠E的度数;
(4)拓展提升:如图③,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CDN和∠CBM是它的两个外角,且∠CDP=∠CDN,∠CBP=∠CBM,求∠P的度数.11.3.2 多边形的内角和
知识点1 多边形的内角和
1新课标·中国优秀传统文化图1是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔,它巍峨挺拔,雄伟壮观,始建于北周年间,是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一.燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔,十三层均为正八边形砖木结构,图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图,其内角和为 (C)
A.135° B.360°
C.1 080° D.1 440°
2[教材再开发·P24练习T1(3)变式]下面的图形中,x的值为 (B)
A.103 B.105
C.115 D.133
3(2023·济宁中考)一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是 五 边形.
知识点2 多边形的外角和
4正五边形的外角和为 (B)
A.180° B.360° C.540° D.720°
5如图是一个窗户造型,为正八边形,则∠1= 45° .
6(2023·扬州中考)如果一个多边形每一个外角都是60°,那么这个多边形的边数
为 6 .
7(2024·荆州期中)“花影遮墙,峰峦叠窗”,苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂中的部分图案.若∠1=∠2=75°,∠3=∠4=65°,则∠5= 80 °.
8(2024·广州期中)如果正n边形的一个内角与外角的比是5∶1,那么n= 12 .
9在同一平面内,将正六边形和正五边形按如图所示的方式放置,则∠α的度数为
(A)
A.132° B.142° C.122° D.152°
10如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°…照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走了 (C)
A.80米 B.96米 C.64米 D.48米
11一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是(C)
A.12 B.13 C.14 D.15
12一个多边形外角和是内角和的,则这个多边形的边数为 11 .
13如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO= 48° .
14[教材再开发·P24习题T3拓展]若一个多边形的内角和与外角和相加是1 800°,则此多边形是几边形
【解析】∵一个多边形的内角和与外角和相加是1 800°,设这个多边形的边数为n,则依题意可得(n-2)×180°+360°=1 800°,解得n=10.
∴这个多边形是十边形.
15新课标·项目式学习(1)问题发现:小红在数学课上学习了外角的相关知识后,她很容易地证明了三角形外角的性质,即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,于是,爱思考的小红在想,四边形的外角是否也具有类似的性质呢
如图①,∠1,∠2是四边形ABCD的两个外角.
∵四边形ABCD的内角和是360°,
∴∠A+∠D+∠3+∠4=360°,
又∵∠1+∠3+∠2+∠4=360°,
由此可得∠1,∠2与∠A,∠D的数量关系是 ;
【解析】(1)∵四边形ABCD的内角和是360°,
∴∠A+∠D+∠3+∠4=360°,
又∵∠1+∠3+∠2+∠4=360°,
∴∠1+∠2=∠A+∠D;
答案:∠1+∠2=∠A+∠D
(2)总结归纳:如果我们把∠1,∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式;
【解析】(2)结论:四边形的相邻的两个外角的和等于和它们不相邻的两个内角的和;
(3)知识应用:如图②,已知四边形ABCD,AE,DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线,若∠B+∠C=230°,求∠E的度数;
【解析】(3)由(1)知:∠MDA+∠DAN=∠B+∠C=230°,
∵AE,DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线,
∴2∠EDA+2∠DAE=230°,
∴∠EDA+∠DAE=115°,
∴∠E=180°-(∠EDA+∠DAE)=65°;
(4)拓展提升:如图③,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠CDN和∠CBM是它的两个外角,且∠CDP=∠CDN,∠CBP=∠CBM,求∠P的度数.
【解析】(4)∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC=∠CDN,∠ADC=∠CBM,
∵∠ABC+∠ADC=360°-(∠A+∠C)=180°,
∴∠CDN+∠CBM=180°,
∵∠CDP=∠CDN,∠CBP=∠CBM,
∴∠CDP+∠CBP=(∠CDN+∠CBM)=60°,
∴∠P=360°-(∠ADP+∠ABP)-∠A=30°.
