第十一章 三角形
一、选择题
1在下列图形中,正确画出AC边上的高的是 ( )
2我国建造的港珠澳大桥全长55千米,集桥、岛、隧于一体,是世界最长的跨海大桥.如图,这是港珠澳大桥中的斜拉索桥,那么你能推断出斜拉索桥中运用的数学原理是 ( )
A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性
C.四边形的不稳定性 D.四边形的稳定性
3(2024·济宁期中)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为 ( )
A.85° B.75° C.65° D.55°
4如图,小明从O点出发,前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了( )
A.72米 B.108米 C.144米 D.120米
5如图,在△ABC中,AB=15,BC=9,BD是AC边上的中线,若△ABD的周长为30,则△BCD的周长是 ( )
A.20 B.24 C.26 D.28
6(2024·黄石期中)在下列条件①∠A+∠B=∠C;②∠A=∠B=2∠C;③∠A=∠B=∠C;④∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3中,能确定△ABC为直角三角形的条件有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
7已知三角形的三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是 .
8等腰三角形的一边长为5,一边长为2,则该等腰三角形的周长为 .
9(2024·宁波质检)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 .
10已知:如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则阴影部分的面积为 cm2.
11已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中∠ABC=∠C.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB边上的E点处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).原三角形纸片ABC中,∠ABC的大小为 °.
三、解答题
12(2024·荆州期中)(1)已知一个n边形的内角和是其外角和的5倍,求n的值.
(2)在△ABC中,已知∠B=∠A-10°,∠C=∠A+25°,求∠A的度数.
13如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求∠CAE的度数;
(2)求∠ADF的度数.
14(2024·滁州期中)如图,在△ABC中,BE是角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O.
(1)若CD是中线,BC=4,AC=3,则△BCD与△ACD的周长差为 ;
(2)若∠ABC=64°,CD是高,求∠BOC的度数;
(3)若∠A=80°,CD是角平分线,求∠BOC的度数.
15综合与实践
问题情境:已知,△ABC中,∠BAC=α,∠B=∠C,点D,E分别在BC,AC边上,∠BAD=∠CDE.
特例研究:(1)如图1,若α=40°,且AD恰好平分∠BAC,则∠ADE的度数为 °.
类比思考:(2)如图2,若α=50°,且点D是BC边上的任意一点,小颖发现∠ADE的度数为定值,求∠ADE的度数.
联系拓广:(3)如图3,将问题情境中的“点D,E分别在BC,AC边上”改为“点D,E分别在BC,AC的延长线上”,其余条件不变.请从下面A,B两题中任选一题作答.我选择 题.
A.若α=50°,直接写出此时∠ADE的度数.
B.直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示).期末高效复习
第十一章 三角形
一、选择题
1在下列图形中,正确画出AC边上的高的是 (D)
2我国建造的港珠澳大桥全长55千米,集桥、岛、隧于一体,是世界最长的跨海大桥.如图,这是港珠澳大桥中的斜拉索桥,那么你能推断出斜拉索桥中运用的数学原理是 (B)
A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性
C.四边形的不稳定性 D.四边形的稳定性
3(2024·济宁期中)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为 (B)
A.85° B.75° C.65° D.55°
4如图,小明从O点出发,前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了(B)
A.72米 B.108米 C.144米 D.120米
5如图,在△ABC中,AB=15,BC=9,BD是AC边上的中线,若△ABD的周长为30,则△BCD的周长是 (B)
A.20 B.24 C.26 D.28
6(2024·黄石期中)在下列条件①∠A+∠B=∠C;②∠A=∠B=2∠C;③∠A=∠B=∠C;④∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3中,能确定△ABC为直角三角形的条件有 (B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
7已知三角形的三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是 3
8等腰三角形的一边长为5,一边长为2,则该等腰三角形的周长为 12 .
9(2024·宁波质检)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 180° .
10已知:如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则阴影部分的面积为 1 cm2.
11已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中∠ABC=∠C.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB边上的E点处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).原三角形纸片ABC中,∠ABC的大小为 72 °.
三、解答题
12(2024·荆州期中)(1)已知一个n边形的内角和是其外角和的5倍,求n的值.
【解析】(1)由题意可得(n-2)·180°=360°×5,解得n=12;
(2)在△ABC中,已知∠B=∠A-10°,∠C=∠A+25°,求∠A的度数.
【解析】(2)由题意可得∠A-10°+∠A+25°+∠A=180°,
解得∠A=55°.
13如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求∠CAE的度数;
【解析】(1)∵∠C=40°,∠B=70°,
∴∠BAC=180°-(∠C+∠B)=70°,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAC=35°.
(2)求∠ADF的度数.
【解析】(2)∵AD是△ABC的高,
∴∠CAD=90°-∠C=50°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°,
∵DF⊥AE,
∴∠ADF=90°-∠DAE=75°.
14(2024·滁州期中)如图,在△ABC中,BE是角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O.
(1)若CD是中线,BC=4,AC=3,则△BCD与△ACD的周长差为 ;
【解析】(1)∵CD是中线,
∴BD=AD,
∵BC=4,AC=3,
∴C△BCD=BC+BD+CD=4+AD+CD,C△ACD=AD+CD+AC=3+AD+CD,
∴C△BCD-C△ACD=1;
答案:1
(2)若∠ABC=64°,CD是高,求∠BOC的度数;
【解析】(2)∵CD是△ABC的高,
∴∠CDB=90°,
∵∠ABC=64°,BE是△ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠ABC=×64°=32°,
∴∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+32°=122°;
(3)若∠A=80°,CD是角平分线,求∠BOC的度数.
【解析】(3)∵∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°,
∵BE,CD是△ABC的角平分线,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°.
15综合与实践
问题情境:已知,△ABC中,∠BAC=α,∠B=∠C,点D,E分别在BC,AC边上,∠BAD=∠CDE.
特例研究:(1)如图1,若α=40°,且AD恰好平分∠BAC,则∠ADE的度数为 °.
【解析】(1)∵∠BAC=α=40°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=20°,
∵∠BAD=∠CDE,
∴∠CDE=20°,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B=∠C,
∴∠B==90°-α=70°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°,
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-20°=70°.
答案:70
类比思考:(2)如图2,若α=50°,且点D是BC边上的任意一点,小颖发现∠ADE的度数为定值,求∠ADE的度数.
【解析】(2)∵∠BAC=α=50°,
∴∠B=∠C==65°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=65°+∠BAD,
∵∠BAD=∠CDE,
∴∠ADC=65°+∠CDE,
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=65°.
联系拓广:(3)如图3,将问题情境中的“点D,E分别在BC,AC边上”改为“点D,E分别在BC,AC的延长线上”,其余条件不变.请从下面A,B两题中任选一题作答.我选择 题.
A.若α=50°,直接写出此时∠ADE的度数.
B.直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示).
【解析】(3)选择A:
∵∠BAC=α=50°,
∴∠CDE=∠BAD=∠BAC+∠CAD=50°+∠CAD,
∠B=∠ACB==65°,
∵∠ACB=∠CAD+∠ADC,
∴∠ADC=65°-∠CAD,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=65°-∠CAD+50°+∠CAD=115°;
选择B:
∵∠BAC=α,
∴∠CDE=∠BAD=∠BAC+∠CAD=α+∠CAD,
∠B=∠ACB==90°-α,
∵∠ACB=∠CAD+∠ADC,
∴∠ADC=90°-α-∠CAD,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°-α-∠CAD+α+∠CAD=90°+α.