第十一章 三角形
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2023·福建中考)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 ( )
A.1 B.5 C.7 D.9
2(2023·永州中考)下列多边形中,内角和等于360°的是 ( )
3(2023·福州期末)如图,△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,连接BG并延长,交AC于点E,F为AB上一点,且CF⊥AD于点H,下列判断中,正确的个数是 ( )
①BG是△ABD的边AD上的中线;
②AD既是△ABC的角平分线,也是△ABE的角平分线;
③CH既是△ACD的边AD上的高,也是△ACH的边AH上的高.
A.0 B.1 C.2 D.3
4如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D.∠B=30°,∠C=80°,则∠ADC的度数是 ( )
A.65° B.70° C.75° D.80°
5如图,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=20°,∠2=40°,则∠3等于 ( )
A.50° B.30° C.20° D.15°
6(2023·广州质检)如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,∠D+∠E+∠F=107°,则∠1+∠2+∠3的度数为 ( )
A.73° B.63° C.83° D.93°
7若实数m,n满足等式|m-2|+|n-4|=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是 ( )
A.6 B.8 C.8或10 D.10
8给定下列条件,不能判定三角形ABC是直角三角形的是 ( )
A.∠A=∠B=∠C B.∠A-∠C=∠B
C.∠A=∠B=2∠C D.∠A=∠B=∠C
9如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,△ABC的面积是4 cm2,那么△BEC的面积是( )
A.2.5 cm2 B.2 cm2
C.1.5 cm2 D.1 cm2
10如图,AB⊥CD,垂足为O,∠AQP的平分线与∠QPC的平分线相交于点E,将△EFG沿FG折叠,使点E落在四边形PFGQ内部E'的位置,则∠PFE'+∠QGE'的值为 ( )
A.90° B.105° C.100° D.85°
二、填空题(每小题3分,共24分)
112023年10月1日,杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日,中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会,以较大优势占据射击项目金牌榜头名.射击队员在瞄准目标时,手、肘、肩构成托枪三角形,这种方法应用的几何原理是 .
12(2022·舟山中考)正八边形一个内角的度数为 .
13如图,直线AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1的度数是 .
14(2023·昆明期中)如图,经测量,B处在A处的南偏西60°的方向,C处在A处的南偏东20°方向,BE为正北方向,且∠CBE=100°,则∠ACB的度数是 .
15(2024·天津期中)如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= °.
16如图,五边形ABCDE是正五边形,若l1∥l2,则∠1-∠2= .
17已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则等腰三角形的顶角度数为 .
18在△ABC中,∠C=70°,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的两个定点,点P运动到边AB的延长线上,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α,如图,则∠α= (用∠1,∠2的代数式表示).
三、解答题(共46分)
19(6分)如图,在△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC上一点,BE与CD相交于点O,∠A=60°,∠ABE=15°,∠ACD=25°,求∠BEC和∠COE的度数.
20(6分) (2024·昆明质检)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC.
(1)若∠ABC=60°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)若∠ABC=α,∠C=β(α<β),则∠DAE= (用含α,β的式子表示).
21(8分)(1)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°,求这个多边形的边数;
(2)一个多边形的外角和是内角和的,求这个多边形的边数.
22(8分)把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两段长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形时,求x的值.
23 (8分)(2024·天津质检)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠C=50°,∠BAC=60°,求∠ADB的度数;
(2)若∠BED=45°,求∠C的度数.
24(10分)在△ABC中,AD是角平分线,∠B<∠C,
(1)如图(1),AE是高,∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)如图(2),点E在AD上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系,并证明你的结论.
(3)如图(3),点E在AD的延长线上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直接写出结论,不需证明).
【附加题】(10分)
如图,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线.
(1)填空:当∠ABC=62°,∠ACB=68°时,∠D= °,∠P= °;
(2)当∠A=48°时,求∠D,∠P的度数;
(3)请你猜想,当∠A的大小变化时,∠D+∠P的值是否变化 请说明理由.第十一章 三角形
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1(2023·福建中考)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 (B)
A.1 B.5 C.7 D.9
2(2023·永州中考)下列多边形中,内角和等于360°的是 (B)
3(2023·福州期末)如图,△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,连接BG并延长,交AC于点E,F为AB上一点,且CF⊥AD于点H,下列判断中,正确的个数是 (C)
①BG是△ABD的边AD上的中线;
②AD既是△ABC的角平分线,也是△ABE的角平分线;
③CH既是△ACD的边AD上的高,也是△ACH的边AH上的高.
A.0 B.1 C.2 D.3
4如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D.∠B=30°,∠C=80°,则∠ADC的度数是 (A)
A.65° B.70° C.75° D.80°
5如图,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=20°,∠2=40°,则∠3等于 (C)
A.50° B.30° C.20° D.15°
6(2023·广州质检)如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,∠D+∠E+∠F=107°,则∠1+∠2+∠3的度数为 (A)
A.73° B.63° C.83° D.93°
7若实数m,n满足等式|m-2|+|n-4|=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是 (D)
A.6 B.8 C.8或10 D.10
8给定下列条件,不能判定三角形ABC是直角三角形的是 (C)
A.∠A=∠B=∠C B.∠A-∠C=∠B
C.∠A=∠B=2∠C D.∠A=∠B=∠C
9如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,△ABC的面积是4 cm2,那么△BEC的面积是(B)
A.2.5 cm2 B.2 cm2
C.1.5 cm2 D.1 cm2
10如图,AB⊥CD,垂足为O,∠AQP的平分线与∠QPC的平分线相交于点E,将△EFG沿FG折叠,使点E落在四边形PFGQ内部E'的位置,则∠PFE'+∠QGE'的值为 (A)
A.90° B.105° C.100° D.85°
二、填空题(每小题3分,共24分)
112023年10月1日,杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日,中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会,以较大优势占据射击项目金牌榜头名.射击队员在瞄准目标时,手、肘、肩构成托枪三角形,这种方法应用的几何原理是 三角形具有稳定性 .
12(2022·舟山中考)正八边形一个内角的度数为 135° .
13如图,直线AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1的度数是 85° .
14(2023·昆明期中)如图,经测量,B处在A处的南偏西60°的方向,C处在A处的南偏东20°方向,BE为正北方向,且∠CBE=100°,则∠ACB的度数是 60° .
15(2024·天津期中)如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 360 °.
16如图,五边形ABCDE是正五边形,若l1∥l2,则∠1-∠2= 72° .
17已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则等腰三角形的顶角度数为 40°或140° .
18在△ABC中,∠C=70°,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的两个定点,点P运动到边AB的延长线上,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α,如图,则∠α= ∠1-70°-∠2 (用∠1,∠2的代数式表示).
三、解答题(共46分)
19(6分)如图,在△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC上一点,BE与CD相交于点O,∠A=60°,∠ABE=15°,∠ACD=25°,求∠BEC和∠COE的度数.
【解析】∵∠A=60°,∠ABE=15°,
∴∠BEC=60°+15°=75°,
∴∠COE=180°-∠BEC-∠ACD=180°-75°-25°=80°.
20(6分) (2024·昆明质检)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC.
(1)若∠ABC=60°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
【解析】(1)∵∠ABC=60°,∠C=70°,∴∠BAC=50°,
∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAE=25°,
∵AD是BC边上的高,∴∠CAD=20°,∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°;
(2)若∠ABC=α,∠C=β(α<β),则∠DAE= (用含α,β的式子表示).
【解析】(2)∵∠ABC=α,∠C=β,∴∠BAC=180°-(α+β),
∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAE=90°-(α+β),∵AD是BC边上的高,
∴∠CAD=90°-β,∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-(α+β)-(90°-β)=(β-α).
答案:(β-α)
21(8分)(1)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°,求这个多边形的边数;
【解析】(1)设这个正多边形的每个内角是x°,每个外角是y°,则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和都是360°,则这个正多边形的边数是360÷30=12.
(2)一个多边形的外角和是内角和的,求这个多边形的边数.
【解析】(2)设这个多边形的边数为n,依题意得(n-2)180°=360°,解得n=9.
答:这个多边形的边数为9.
22(8分)把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两段长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
【解析】(1)∵该三角形的周长是18米,其中两段长分别为x米和4米,
∴第三边的长度是18-4-x=14-x(米).∴14-x-4即10-x(2)若围成的三角形是等腰三角形时,求x的值.
【解析】(2)①当边长为x米的边为等腰三角形的底时,x+4+4=18,解得x=10,∵10>9,
∴x=10,不合题意,舍去.
②当边长为4米的边为等腰三角形的底时,2x+4=18,解得x=7.综上所述,x的值是7.
23 (8分)(2024·天津质检)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠C=50°,∠BAC=60°,求∠ADB的度数;
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°,
∵∠ADB是△ADC的外角,∠C=50°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=80°;
(2)若∠BED=45°,求∠C的度数.
【解析】(2)∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE,∵∠BED是△ABE的外角,∠BED=45°,
∴∠BAD+∠ABE=∠BED=45°,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=90°,
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=90°.
24(10分)在△ABC中,AD是角平分线,∠B<∠C,
(1)如图(1),AE是高,∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAC,∵AE⊥BC,∴∠CAE=90°-∠C,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=∠BAC-(90°-∠C)=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)
=∠C-∠B=(∠C-∠B),∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠DAE=×(70°-50°)=10°.
(2)如图(2),点E在AD上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系,并证明你的结论.
【解析】(2)结论:∠DEF=(∠C-∠B).
证明如下:如图,过点A作AG⊥BC于点G,
∵EF⊥BC,∴AG∥EF,∴∠DAG=∠DEF.
由(1)可得,∠DAG=(∠C-∠B),∴∠DEF=(∠C-∠B).
(3)如图(3),点E在AD的延长线上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直接写出结论,不需证明).
【解析】(3)∠DEF=(∠C-∠B).
证明如下:如图,过点A作AG⊥BC于点G,
∵EF⊥BC,∴AG∥EF,∴∠DAG=∠DEF,由(1)可得,∠DAG=(∠C-∠B),
∴∠DEF=(∠C-∠B).
【附加题】(10分)
如图,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线.
(1)填空:当∠ABC=62°,∠ACB=68°时,∠D= °,∠P= °;
【解析】(1)∵∠ABC=62°,∠ACB=68°,
∴∠CBE=180°-∠ABC=118°,∠BCF=180°-∠ACB=112°,
∵BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线,
∴∠DBC=∠ABC=31°,∠DCB=∠ACB=34°,∠PBC=∠CBE=59°,∠BCP=∠BCF=56°,
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-31°-34°=115°,∠P=180°-∠PBC-∠BCP=180°-59°-56°=65°;
答案:115 65
(2)当∠A=48°时,求∠D,∠P的度数;
【解析】(2)∵∠A=48°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-48°=132°,
∵∠ABC+∠CBE=180°,∠ACB+∠BCF=180°,
∴∠ABC+∠CBE+∠ACB+∠BCF=360°,
∴∠CBE+∠BCF=360°-(∠ABC+∠ACB)=228°,
∵BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,∠PBC=∠CBE,∠BCP=∠BCF,
∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=66°,∠PBC+∠BCP=(∠CBE+∠BCF)=114°,
∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-66°=114°,∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-114°=66°;
(3)请你猜想,当∠A的大小变化时,∠D+∠P的值是否变化 请说明理由.
【解析】(3)当∠A的大小变化时,∠D+∠P的值不变化,理由如下:
由(2)可知:∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠A)
=180°-90°+∠A
=90°+∠A,
∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)
=180°-(∠CBE+∠BCF)
=180°-(180°-∠ABC+180°-∠ACB)
=180°-[360°-(∠ABC+∠ACB)]
=180°-[360°-(180°-∠A)]
=180°-(180°+∠A)
=180°-90°-∠A
=90°-∠A,
∴∠D+∠P=90°+∠A+90°-∠A=180°,
∴当∠A的大小变化时,∠D+∠P的值不变化.
