2025江西省南昌市高三零模数学试题（PDF版，含答案）

2025南昌零模数学试题含答案
4
(m 2)2 (x 2)2 y2 2 y 2 2i (6 2)2 ②-①得：2 2 (
2 )(x 2)， …………………………… 13 分 而 = cm cn ，所以ck 与ck 必为相邻两项，即 k k 1n 1 min 1 2 2 1 ，
s2则 i 1 3.2 2 2， …………………… 12 分 x2 2 x2 2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 5 5 y 2 y 2 y 2 y 2 2 y 2y 故 c c ，
有一项符合题目要求的． 这与 B 班中 5 2 其中
2 1 2 1 1 2名同学失分的方差为 矛盾， 2 2 ， k 1 k 2n 1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 所以不存在失分超过 5 分的同学，所以 B 班是优秀班级． …………………… 15 分
x2 2 x1 2 my2 my1 my1y2 2 n 1
所以 x 2 1，即 x 1， 所以{ck}是公差为 的等差数列，共有2 项， 答案 D B A C D B D D 2n 1
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 17【解析】（1）当a 1时， f (x) e 2x f (x) 2e 2x 综上，直线AB和CD的交点M 在定直线 x 1上. …………………………… 17 分 ， ， c c 2n 1n 1
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 19.【解析】（1）ay 0 1
S1 2 1 1; 1设{c } 2 n 1的所有项的和为F ,则F = 2 . ……………………17 分
题号 9 10 11 设P(x0 , y0 )，依题意 f (x0 )
p k
， 1 1 1 2
x 0 当n 2 时，a S S 2 2
答案 ACD AC AC p n n n 1 2n 1 2n 2 2n 1
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 e 2x分． 0 2
故 2e 2x x 1 10 ，得 0 ， …………………… 5 分 2 n 1, 1，符合上式，所以an . ………………………… 5 分 n 1 n 1
12． 1 13． 14． ( , 2] x0 2 2 2
5 2 （2）（i）当n 3时，{ck}中共有4项，设其从小到大排列为c1,c2 ,c3,c4
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 所以P的坐标为 ( ,e) ，切线方程为 y 2ex . …………………… 7 分
1 1
2π 2
15．【解析】（1）在△OCD中，OD 2，OC 1， DOC ， 2 4
3 （2）ae 2x 2 x 2 恒成立，即 2 x 2 z a 恒成立， ………………… 9 分 b1 1,b2 ,b3
2x
由余弦定理DC2 OD2 OC2 2OD OCcos DOC， e
1 1
P

2 x 2 2x 2 4 2 4
得DC 7 ； …………………… 6 分 令 g(x) ，则 g '(x) . 2x 2x 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7e e c1 1 ;c2 1 ;c3 1 ;c4 1 .
2 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4
（2）如图建立空间直角坐标系O xyz， 2 1 x 2令 g (x) 0，解得 x ( , 2) ，所以 g(x) 在 ( , 2)上单调递增； ……………………………… 11 分
2 e2 2x 2 1 1 1 n 1
O （ii）根据数列{b }的定义，其前n项和B 1 ... ，共有2 种情形，
则 A(0, 2,0) ,P(0,0,2 3) ,C(0,1,0) , 2D( 3, 1,0)， A C B y 2 1 x 2
n n 1 2 n 1
令 g (x) 0，解得 x ( 2, ) ，所以 g(x) 在 ( 2, ) 2 2 2上单调递减.
2 2x
D 2 e 2 1 1 1 1 1 1x 其中c 1 ... ,
所以AP (0,2,2 3) ,DC ( 3,2,0)， ………… 9 分 1 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 12
g(x)max g( 2) e
2 2 1 2 2 1
，所以a e . ………………… 15 分 1 1 1 1 1 2n 1
设异面直线PA与DC所成角为 ， 2 c n 1 1 ... .
18.【解析】（1）由已知2c 4，解得c 2， 2 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1
A P DC则 cos | cos AP,DC | | 7| . ……………… 13 分 又因为 2b
2 n 1
22 2 ，结合a b2 c2 4
设 c， m与cn 是Bn 的2 种情形中的任意两种，且 n m ，
| AP || DC | 7 a 1 1 1
2 则 cm cn=m1 m2 m ，其中m 0或2或 2， 16．【解析】（1）依题意随机变量 X 所有可能的取值为：0,1,2,3， 故有4 a 2a，解得a 2 2 （舍去），或a 2 ，即b 2 . 21 22 n 1 2n 1 i
C 2 2
2
C 1 C1 1 x y
2
不妨设m ,m , ,m (i i
2 2 2 故双曲线方程为 1 . …………………………………… 5 分 i1 i2 ip 1 2
ip n 1) 不为 0，
P(X 0) ；P(X 1) ；
C 2 5 C 2 5 2 25 5 1 1 1
（2）易知B(2, 2),D(2, 2)， 则 cm cn mi mi mi i ， 1 1 1 i 2 i pC2 C2 2 C
1 1 2 1 2 2 2 p
P(X 2) ；P(X 3) 2 .
2 2 当直线 AC 斜率为0时，C 5 C 5 A( 2,0),C( 2,0)
，易得M (1,1), 1 1 1 1
5 5 又因为 ，
当直线 AC 斜率不为0时，设 AC : x my 2， A(x , y ),C(x , y )， 2i1 2i1 1 i1 2 n 1所以随机变量 X 的分布列为 1 1 2 2 2 2
X 0 1 2 3 x my 2 2 2 所以m联立 ，得 m 1 y 4my 2 0， i 2， 1
1 1 2 1 2 2
P
x y 2 1 1 1 1 1 1
所以cm cn 2( ) 2( ) 5 5 5 5 i1所以 4m 2 ， ， 2 2
i2 2ip 2i1 2i1 1 2n 1y y y y
1 1 2 1 8 1 2 2 1 2 2
所以EX 0 1 2 3 m 1 m 1 2. …………………… 8 分
5 5 5 5 5 所以 y y 2my y ， …………………………… 10 分
所以cm cn n 1 ， ………………………………14 分
1 2 1 2 2
（2）假设 B 班不是优秀班级，则一定存在一位同学的失分（m）超过 5 分，即m 6，其 y1 2 ……① 设数列 bn 中最后一项为负的是bi ai ,bi 后的项均为正，其和记为 ck ， 余 4 名同学失分分别为 xi (i 1,2,3,4) AB : y 2 x 2 1， x1 2 构造数列 bn 的另一情形，前 i 1项不变， bi ai ,bi 后的项均为负，其和记为ck ， 2
y2 2CD : y 2 x 2 ……② 2
x2 2 则ck c2 k 2ai 2 a1 i 1 ai 2 an 2ai 2 Sn Si ， 2n 1
4
(m 2)2 (x 2)2 y2 2 y 2 2i (6 2)2 ②-①得：2 2 (
2 )(x 2)， …………………………… 13 分 而 = cm cn ，所以ck 与ck 必为相邻两项，即 k k 1n 1 min 1 2 2 1 ，
s2则 i 1 3.2 2 2， …………………… 12 分 x2 2 x2 2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 5 5 y 2 y 2 y 2 y 2 2 y 2y 故 c c ，
有一项符合题目要求的． 这与 B 班中 5 2 其中
2 1 2 1 1 2名同学失分的方差为 矛盾， 2 2 ， k 1 k 2n 1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 所以不存在失分超过 5 分的同学，所以 B 班是优秀班级． …………………… 15 分
x2 2 x1 2 my2 my1 my1y2 2 n 1
所以 x 2 1，即 x 1， 所以{ck}是公差为 的等差数列，共有2 项， 答案 D B A C D B D D 2n 1
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 17【解析】（1）当a 1时， f (x) e 2x f (x) 2e 2x 综上，直线AB和CD的交点M 在定直线 x 1上. …………………………… 17 分 ， ， c c 2n 1n 1
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 19.【解析】（1）ay 0 1
S1 2 1 1; 1设{c } 2 n 1的所有项的和为F ,则F = 2 . ……………………17 分
题号 9 10 11 设P(x0 , y0 )，依题意 f (x0 )
p k
， 1 1 1 2
x 0 当n 2 时，a S S 2 2
答案 ACD AC AC p n n n 1 2n 1 2n 2 2n 1
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 e 2x分． 0 2
故 2e 2x x 1 10 ，得 0 ， …………………… 5 分 2 n 1, 1，符合上式，所以an . ………………………… 5 分 n 1 n 1
12． 1 13． 14． ( , 2] x0 2 2 2
5 2 （2）（i）当n 3时，{ck}中共有4项，设其从小到大排列为c1,c2 ,c3,c4
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 所以P的坐标为 ( ,e) ，切线方程为 y 2ex . …………………… 7 分
1 1
2π 2
15．【解析】（1）在△OCD中，OD 2，OC 1， DOC ， 2 4
3 （2）ae 2x 2 x 2 恒成立，即 2 x 2 z a 恒成立， ………………… 9 分 b1 1,b2 ,b3
2x
由余弦定理DC2 OD2 OC2 2OD OCcos DOC， e
1 1
P

2 x 2 2x 2 4 2 4
得DC 7 ； …………………… 6 分 令 g(x) ，则 g '(x) . 2x 2x 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7e e c1 1 ;c2 1 ;c3 1 ;c4 1 .
2 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4
（2）如图建立空间直角坐标系O xyz， 2 1 x 2令 g (x) 0，解得 x ( , 2) ，所以 g(x) 在 ( , 2)上单调递增； ……………………………… 11 分
2 e2 2x 2 1 1 1 n 1
O （ii）根据数列{b }的定义，其前n项和B 1 ... ，共有2 种情形，
则 A(0, 2,0) ,P(0,0,2 3) ,C(0,1,0) , 2D( 3, 1,0)， A C B y 2 1 x 2
n n 1 2 n 1
令 g (x) 0，解得 x ( 2, ) ，所以 g(x) 在 ( 2, ) 2 2 2上单调递减.
2 2x
D 2 e 2 1 1 1 1 1 1x 其中c 1 ... ,
所以AP (0,2,2 3) ,DC ( 3,2,0)， ………… 9 分 1 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 12
g(x)max g( 2) e
2 2 1 2 2 1
，所以a e . ………………… 15 分 1 1 1 1 1 2n 1
设异面直线PA与DC所成角为 ， 2 c n 1 1 ... .
18.【解析】（1）由已知2c 4，解得c 2， 2 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1
A P DC则 cos | cos AP,DC | | 7| . ……………… 13 分 又因为 2b
2 n 1
22 2 ，结合a b2 c2 4
设 c， m与cn 是Bn 的2 种情形中的任意两种，且 n m ，
| AP || DC | 7 a 1 1 1
2 则 cm cn=m1 m2 m ，其中m 0或2或 2， 16．【解析】（1）依题意随机变量 X 所有可能的取值为：0,1,2,3， 故有4 a 2a，解得a 2 2 （舍去），或a 2 ，即b 2 . 21 22 n 1 2n 1 i
C 2 2
2
C 1 C1 1 x y
2
不妨设m ,m , ,m (i i
2 2 2 故双曲线方程为 1 . …………………………………… 5 分 i1 i2 ip 1 2
ip n 1) 不为 0，
P(X 0) ；P(X 1) ；
C 2 5 C 2 5 2 25 5 1 1 1
（2）易知B(2, 2),D(2, 2)， 则 cm cn mi mi mi i ， 1 1 1 i 2 i pC2 C2 2 C
1 1 2 1 2 2 2 p
P(X 2) ；P(X 3) 2 .
2 2 当直线 AC 斜率为0时，C 5 C 5 A( 2,0),C( 2,0)
，易得M (1,1), 1 1 1 1
5 5 又因为 ，
当直线 AC 斜率不为0时，设 AC : x my 2， A(x , y ),C(x , y )， 2i1 2i1 1 i1 2 n 1所以随机变量 X 的分布列为 1 1 2 2 2 2
X 0 1 2 3 x my 2 2 2 所以m联立 ，得 m 1 y 4my 2 0， i 2， 1
1 1 2 1 2 2
P
x y 2 1 1 1 1 1 1
所以cm cn 2( ) 2( ) 5 5 5 5 i1所以 4m 2 ， ， 2 2
i2 2ip 2i1 2i1 1 2n 1y y y y
1 1 2 1 8 1 2 2 1 2 2
所以EX 0 1 2 3 m 1 m 1 2. …………………… 8 分
5 5 5 5 5 所以 y y 2my y ， …………………………… 10 分
所以cm cn n 1 ， ………………………………14 分
1 2 1 2 2
（2）假设 B 班不是优秀班级，则一定存在一位同学的失分（m）超过 5 分，即m 6，其 y1 2 ……① 设数列 bn 中最后一项为负的是bi ai ,bi 后的项均为正，其和记为 ck ， 余 4 名同学失分分别为 xi (i 1,2,3,4) AB : y 2 x 2 1， x1 2 构造数列 bn 的另一情形，前 i 1项不变， bi ai ,bi 后的项均为负，其和记为ck ， 2
y2 2CD : y 2 x 2 ……② 2
x2 2 则ck c2 k 2ai 2 a1 i 1 ai 2 an 2ai 2 Sn Si ， 2n 1
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(m 2)2 (x 2)2 y2 2 y 2 2i (6 2)2 ②-①得：2 2 (
2 )(x 2)， …………………………… 13 分 而 = cm cn ，所以ck 与ck 必为相邻两项，即 k k 1n 1 min 1 2 2 1 ，
s2则 i 1 3.2 2 2， …………………… 12 分 x2 2 x2 2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 5 5 y 2 y 2 y 2 y 2 2 y 2y 故 c c ，
有一项符合题目要求的． 这与 B 班中 5 2 其中
2 1 2 1 1 2名同学失分的方差为 矛盾， 2 2 ， k 1 k 2n 1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 所以不存在失分超过 5 分的同学，所以 B 班是优秀班级． …………………… 15 分
x2 2 x1 2 my2 my1 my1y2 2 n 1
所以 x 2 1，即 x 1， 所以{ck}是公差为 的等差数列，共有2 项， 答案 D B A C D B D D 2n 1
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 17【解析】（1）当a 1时， f (x) e 2x f (x) 2e 2x 综上，直线AB和CD的交点M 在定直线 x 1上. …………………………… 17 分 ， ， c c 2n 1n 1
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 19.【解析】（1）ay 0 1
S1 2 1 1; 1设{c } 2 n 1的所有项的和为F ,则F = 2 . ……………………17 分
题号 9 10 11 设P(x0 , y0 )，依题意 f (x0 )
p k
， 1 1 1 2
x 0 当n 2 时，a S S 2 2
答案 ACD AC AC p n n n 1 2n 1 2n 2 2n 1
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 e 2x分． 0 2
故 2e 2x x 1 10 ，得 0 ， …………………… 5 分 2 n 1, 1，符合上式，所以an . ………………………… 5 分 n 1 n 1
12． 1 13． 14． ( , 2] x0 2 2 2
5 2 （2）（i）当n 3时，{ck}中共有4项，设其从小到大排列为c1,c2 ,c3,c4
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 所以P的坐标为 ( ,e) ，切线方程为 y 2ex . …………………… 7 分
1 1
2π 2
15．【解析】（1）在△OCD中，OD 2，OC 1， DOC ， 2 4
3 （2）ae 2x 2 x 2 恒成立，即 2 x 2 z a 恒成立， ………………… 9 分 b1 1,b2 ,b3
2x
由余弦定理DC2 OD2 OC2 2OD OCcos DOC， e
1 1
P

2 x 2 2x 2 4 2 4
得DC 7 ； …………………… 6 分 令 g(x) ，则 g '(x) . 2x 2x 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7e e c1 1 ;c2 1 ;c3 1 ;c4 1 .
2 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4
（2）如图建立空间直角坐标系O xyz， 2 1 x 2令 g (x) 0，解得 x ( , 2) ，所以 g(x) 在 ( , 2)上单调递增； ……………………………… 11 分
2 e2 2x 2 1 1 1 n 1
O （ii）根据数列{b }的定义，其前n项和B 1 ... ，共有2 种情形，
则 A(0, 2,0) ,P(0,0,2 3) ,C(0,1,0) , 2D( 3, 1,0)， A C B y 2 1 x 2
n n 1 2 n 1
令 g (x) 0，解得 x ( 2, ) ，所以 g(x) 在 ( 2, ) 2 2 2上单调递减.
2 2x
D 2 e 2 1 1 1 1 1 1x 其中c 1 ... ,
所以AP (0,2,2 3) ,DC ( 3,2,0)， ………… 9 分 1 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 12
g(x)max g( 2) e
2 2 1 2 2 1
，所以a e . ………………… 15 分 1 1 1 1 1 2n 1
设异面直线PA与DC所成角为 ， 2 c n 1 1 ... .
18.【解析】（1）由已知2c 4，解得c 2， 2 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1
A P DC则 cos | cos AP,DC | | 7| . ……………… 13 分 又因为 2b
2 n 1
22 2 ，结合a b2 c2 4
设 c， m与cn 是Bn 的2 种情形中的任意两种，且 n m ，
| AP || DC | 7 a 1 1 1
2 则 cm cn=m1 m2 m ，其中m 0或2或 2， 16．【解析】（1）依题意随机变量 X 所有可能的取值为：0,1,2,3， 故有4 a 2a，解得a 2 2 （舍去），或a 2 ，即b 2 . 21 22 n 1 2n 1 i
C 2 2
2
C 1 C1 1 x y
2
不妨设m ,m , ,m (i i
2 2 2 故双曲线方程为 1 . …………………………………… 5 分 i1 i2 ip 1 2
ip n 1) 不为 0，
P(X 0) ；P(X 1) ；
C 2 5 C 2 5 2 25 5 1 1 1
（2）易知B(2, 2),D(2, 2)， 则 cm cn mi mi mi i ， 1 1 1 i 2 i pC2 C2 2 C
1 1 2 1 2 2 2 p
P(X 2) ；P(X 3) 2 .
2 2 当直线 AC 斜率为0时，C 5 C 5 A( 2,0),C( 2,0)
，易得M (1,1), 1 1 1 1
5 5 又因为 ，
当直线 AC 斜率不为0时，设 AC : x my 2， A(x , y ),C(x , y )， 2i1 2i1 1 i1 2 n 1所以随机变量 X 的分布列为 1 1 2 2 2 2
X 0 1 2 3 x my 2 2 2 所以m联立 ，得 m 1 y 4my 2 0， i 2， 1
1 1 2 1 2 2
P
x y 2 1 1 1 1 1 1
所以cm cn 2( ) 2( ) 5 5 5 5 i1所以 4m 2 ， ， 2 2
i2 2ip 2i1 2i1 1 2n 1y y y y
1 1 2 1 8 1 2 2 1 2 2
所以EX 0 1 2 3 m 1 m 1 2. …………………… 8 分
5 5 5 5 5 所以 y y 2my y ， …………………………… 10 分
所以cm cn n 1 ， ………………………………14 分
1 2 1 2 2
（2）假设 B 班不是优秀班级，则一定存在一位同学的失分（m）超过 5 分，即m 6，其 y1 2 ……① 设数列 bn 中最后一项为负的是bi ai ,bi 后的项均为正，其和记为 ck ， 余 4 名同学失分分别为 xi (i 1,2,3,4) AB : y 2 x 2 1， x1 2 构造数列 bn 的另一情形，前 i 1项不变， bi ai ,bi 后的项均为负，其和记为ck ， 2
y2 2CD : y 2 x 2 ……② 2
x2 2 则ck c2 k 2ai 2 a1 i 1 ai 2 an 2ai 2 Sn Si ， 2n 1
4
(m 2)2 (x 2)2 y2 2 y 2 2i (6 2)2 ②-①得：2 2 (
2 )(x 2)， …………………………… 13 分 而 = cm cn ，所以ck 与ck 必为相邻两项，即 k k 1n 1 min 1 2 2 1 ，
s2则 i 1 3.2 2 2， …………………… 12 分 x2 2 x2 2
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 5 5 y 2 y 2 y 2 y 2 2 y 2y 故 c c ，
有一项符合题目要求的． 这与 B 班中 5 2 其中
2 1 2 1 1 2名同学失分的方差为 矛盾， 2 2 ， k 1 k 2n 1
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 所以不存在失分超过 5 分的同学，所以 B 班是优秀班级． …………………… 15 分
x2 2 x1 2 my2 my1 my1y2 2 n 1
所以 x 2 1，即 x 1， 所以{ck}是公差为 的等差数列，共有2 项， 答案 D B A C D B D D 2n 1
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项 17【解析】（1）当a 1时， f (x) e 2x f (x) 2e 2x 综上，直线AB和CD的交点M 在定直线 x 1上. …………………………… 17 分 ， ， c c 2n 1n 1
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 19.【解析】（1）ay 0 1
S1 2 1 1; 1设{c } 2 n 1的所有项的和为F ,则F = 2 . ……………………17 分
题号 9 10 11 设P(x0 , y0 )，依题意 f (x0 )
p k
， 1 1 1 2
x 0 当n 2 时，a S S 2 2
答案 ACD AC AC p n n n 1 2n 1 2n 2 2n 1
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 e 2x分． 0 2
故 2e 2x x 1 10 ，得 0 ， …………………… 5 分 2 n 1, 1，符合上式，所以an . ………………………… 5 分 n 1 n 1
12． 1 13． 14． ( , 2] x0 2 2 2
5 2 （2）（i）当n 3时，{ck}中共有4项，设其从小到大排列为c1,c2 ,c3,c4
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 所以P的坐标为 ( ,e) ，切线方程为 y 2ex . …………………… 7 分
1 1
2π 2
15．【解析】（1）在△OCD中，OD 2，OC 1， DOC ， 2 4
3 （2）ae 2x 2 x 2 恒成立，即 2 x 2 z a 恒成立， ………………… 9 分 b1 1,b2 ,b3
2x
由余弦定理DC2 OD2 OC2 2OD OCcos DOC， e
1 1
P

2 x 2 2x 2 4 2 4
得DC 7 ； …………………… 6 分 令 g(x) ，则 g '(x) . 2x 2x 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7e e c1 1 ;c2 1 ;c3 1 ;c4 1 .
2 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4
（2）如图建立空间直角坐标系O xyz， 2 1 x 2令 g (x) 0，解得 x ( , 2) ，所以 g(x) 在 ( , 2)上单调递增； ……………………………… 11 分
2 e2 2x 2 1 1 1 n 1
O （ii）根据数列{b }的定义，其前n项和B 1 ... ，共有2 种情形，
则 A(0, 2,0) ,P(0,0,2 3) ,C(0,1,0) , 2D( 3, 1,0)， A C B y 2 1 x 2
n n 1 2 n 1
令 g (x) 0，解得 x ( 2, ) ，所以 g(x) 在 ( 2, ) 2 2 2上单调递减.
2 2x
D 2 e 2 1 1 1 1 1 1x 其中c 1 ... ,
所以AP (0,2,2 3) ,DC ( 3,2,0)， ………… 9 分 1 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 12
g(x)max g( 2) e
2 2 1 2 2 1
，所以a e . ………………… 15 分 1 1 1 1 1 2n 1
设异面直线PA与DC所成角为 ， 2 c n 1 1 ... .
18.【解析】（1）由已知2c 4，解得c 2， 2 21 22 2n 2 2n 2 2n 1 2n 1
A P DC则 cos | cos AP,DC | | 7| . ……………… 13 分 又因为 2b
2 n 1
22 2 ，结合a b2 c2 4
设 c， m与cn 是Bn 的2 种情形中的任意两种，且 n m ，
| AP || DC | 7 a 1 1 1
2 则 cm cn=m1 m2 m ，其中m 0或2或 2， 16．【解析】（1）依题意随机变量 X 所有可能的取值为：0,1,2,3， 故有4 a 2a，解得a 2 2 （舍去），或a 2 ，即b 2 . 21 22 n 1 2n 1 i
C 2 2
2
C 1 C1 1 x y
2
不妨设m ,m , ,m (i i
2 2 2 故双曲线方程为 1 . …………………………………… 5 分 i1 i2 ip 1 2
ip n 1) 不为 0，
P(X 0) ；P(X 1) ；
C 2 5 C 2 5 2 25 5 1 1 1
（2）易知B(2, 2),D(2, 2)， 则 cm cn mi mi mi i ， 1 1 1 i 2 i pC2 C2 2 C
1 1 2 1 2 2 2 p
P(X 2) ；P(X 3) 2 .
2 2 当直线 AC 斜率为0时，C 5 C 5 A( 2,0),C( 2,0)
，易得M (1,1), 1 1 1 1
5 5 又因为 ，
当直线 AC 斜率不为0时，设 AC : x my 2， A(x , y ),C(x , y )， 2i1 2i1 1 i1 2 n 1所以随机变量 X 的分布列为 1 1 2 2 2 2
X 0 1 2 3 x my 2 2 2 所以m联立 ，得 m 1 y 4my 2 0， i 2， 1
1 1 2 1 2 2
P
x y 2 1 1 1 1 1 1
所以cm cn 2( ) 2( ) 5 5 5 5 i1所以 4m 2 ， ， 2 2
i2 2ip 2i1 2i1 1 2n 1y y y y
1 1 2 1 8 1 2 2 1 2 2
所以EX 0 1 2 3 m 1 m 1 2. …………………… 8 分
5 5 5 5 5 所以 y y 2my y ， …………………………… 10 分
所以cm cn n 1 ， ………………………………14 分
1 2 1 2 2
（2）假设 B 班不是优秀班级，则一定存在一位同学的失分（m）超过 5 分，即m 6，其 y1 2 ……① 设数列 bn 中最后一项为负的是bi ai ,bi 后的项均为正，其和记为 ck ， 余 4 名同学失分分别为 xi (i 1,2,3,4) AB : y 2 x 2 1， x1 2 构造数列 bn 的另一情形，前 i 1项不变， bi ai ,bi 后的项均为负，其和记为ck ， 2
y2 2CD : y 2 x 2 ……② 2
x2 2 则ck c2 k 2ai 2 a1 i 1 ai 2 an 2ai 2 Sn Si ， 2n 1