2024-2025学年广西柳州三十五中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西柳州三十五中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.二次函数中，的取值范围是( )
A. B. C. D. 一切实数
3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的解为( )
A. B. ，
C. ， D.
5.已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
7.如图，是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D. 或
8.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A. B. C. D.
9.年月日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，如果比赛共进行了场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程是( )
A. B. C. D.
10.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，则，其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.方程的解是______．
12.抛物线的顶点坐标为 ．
13.关于的一元二次方程的两根之和为______．
14.已知点，在二次函数的图象上，若，则______填“”、“”或“”．
15.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
16.代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解下列方程：
；
；
；
．
18.本小题分
有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
19.本小题分
已知抛物线．
求抛物线的对称轴；
将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．
21.本小题分
“杭州亚运三人制篮球”赛将于月月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服月份平均每天售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若降价元，求平均每天的销售数量；
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
22.本小题分
阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
已知关于的方程是常数是“邻根方程”，求的值．
23.本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为．
求抛物线的解析式．
求的面积．
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
参考答案
1.【答案】
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13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】且
16.【答案】
17.【答案】解：，
，
解得：，；
，
，
，
，
；
，
，，，
，
，
；
，
，
，
解得：，．
18.【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了人，
依题意得：，
即，
解得：不符合题意舍去，，
答：每轮传染中平均每人传染了人．
19.【答案】解：，
对称轴为直线；
将该抛物线向右平移个单位长度，
新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：负值舍去．
20.【答案】解：方程有实数根，
，
解得：．
故的取值范围是；
，是方程的两个实数根，
，，
，
，
解得，
由可得，
的取值范围是．
21.【答案】解：平均每天的销售数量为：件，
答：平均每天的销售数量件；
设每件商品降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元．
22.【答案】解：，
，
解得：，，
，
故方程是“邻根方程”；
，
，
解得：，，
方程是常数是“邻根方程”，
，或．
23.【答案】解：当时，，
当时，，
，，
由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
解得：，
的面积为：；
设的解析式为：，
则：，
解得：，
的解析式为：，
点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，
则，
，
当时，有最大值，为，
此时．
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