2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团八年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则的值等于( )
A. B. C. D.
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
3.如果，，，那么、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知是方程的根，则的值是( )
A. B. C. D.
5.九章算术之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十”粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“单位的粟，可换得单位的粝米”问题：有斗的粟斗升，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
6.如图，将四边形纸片沿翻折得到三角形，恰好，若，，则( )
A. B.
C. D.
7.给出下列命题：
等边三角形是等腰三角形；
三角形的重心是三角形三条中线的交点；
三角形的外角等于两个内角的和；
三角形的角平分线是射线；
三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．
其中正确命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，是的边的垂直平分线，若，，
，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接则下列结论中：
；；≌；平分．
正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.函数中自变量的取值范围是______．
12.已知为整数，且分式的值为正整数，则可取的值有______．
13.华为于年月日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟芯片，该款芯片达到了纳米工艺水平，纳米米，纳米用科学记数法表示为：______米
14.当时，的值是______．
15.为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务列方程______．
16.如图，等边的边长为，点是的中点，若动点以秒的速度从点出发沿方向运动设运动时间为秒，连接，当是等腰三角形时，则的值为______秒
17.如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接，若图中两阴影三角形的面积之差为即，，则 ______．
18.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
先化简再求值：，其中．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中为的整数．
21.本小题分
小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加元油”油箱未加满，而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为元升，第二次加油油价为元升，
求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．用含，的代数式表示
爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
22.本小题分
“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加请解答以下问题：
型自行车今年每辆售价为多少？
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？
23.本小题分
中，点在上，，请仅用无刻度的直尺，按要求作图保留作图痕迹，不写作法
在图中，画出的角平分线；
在图中，画出的角平分线．
24.本小题分
如图，在中，的角平分线交于点．
用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点、点、点保留作图痕迹，不写作法
在所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程．
证明：的角平分线交于点，
______．
垂直平分，
， ______，．
______．
．
≌ ______．
．
25.本小题分
如图，点在线段上，，，，平分．
证明：≌；
若，，求的面积．
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿轴向上平移个单位，得到线段．
写出点，的坐标；
若点在轴上，求出点坐标，使得；
线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.且
12.，，
13.
14.
15.
16.或
17.
18.
19.解：原式
，
当时，
原式．
20.解：
，
要使分式有意义，，，，
不能为，，，
为的整数是，，，，，
或，
当时，原式，
当时，原式，
即分式的值是或．
21.解：由题意可得，
妈妈两次加油的总量是：升，
妈妈两次加油的平均价格是：元升，
即妈妈两次加油的总量是升，妈妈两次加油的平均价格是元升；
设爸爸每次加满油箱的油是升，
则爸爸两次加油的平均价格是元升，
，
当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当时，妈妈的加油方式更省钱．
22.解：设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：型自行车今年每辆售价为元；
解：设购进型车辆，则购进型车共辆，
依题意，，
解得：，
根据题意，型车和型车每辆的进价分别为元和元，型自行车今年每辆售价为元；型车每辆的售价为元，
设利润为元，则，
即，
，
当时取得最大值，最大值为元，
购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元．
23.解：如图，为所作；
如图，

24.
【解析】解：如图，即为所求作；
解：证明：的角平分线交于点，
，
垂直平分，
，，，
，
，
≌，
．
25.证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：由知≌，
，
又平分，
，，
垂直平分，
，．
，
，
即的面积是．
26.解：，，将线段沿轴向上平移个单位，
，；
设，
，，
，
又，
过点作轴于点，连接，，，
则，
解得，
；
轴上存在点，使得为等腰直角三角形，
使为等腰直角三角形，分三种情况，设，
当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
；
当时，，
，，
，
≌，
，，
，
解得，
；
当时，，
过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图，
由题意知，，
，，
，
≌，
，
，
；
点坐标为：，，．
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