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2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘方
第1课时 有理数的乘方
一.学习目标
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.通过探索有理数乘方的运算过程，感受化归的数学思想.
二.自主预习
1.将一张纸对折再对折(纸不得撕裂),直到无法对折为止.猜猜看,这时纸有几层
对折1次纸变成2层,对折2次纸变成4层,依此类推,每对折1次层数就增加1倍.你折了多少次 请用算式表示你对折出来的纸层数.
想一想
记作什么，读作什么？
记作什么，读作什么？
记作什么，读作什么？
【自主归纳】一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.
我们把读作a的n次幂，也读作a的n次方.
求n个相同因数的积的运算叫作 .乘方的结果叫作 .在中，a叫作 ，n叫作 .
填空:在中，底数是____，指数是_______，读作；在中，底数是____，指数是______，读作 .
三.探究新知
探究点一 乘方的意义
1.问题1 若正方形的边长为2,则它的面积为多少 棱长为2的正方体的体积为多少
问题2 某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个.经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？
思考 这个细胞分裂一次可得多少个细胞 分裂两次呢 分裂三次呢 四次呢？那么,3小时共分裂了多少次 有多少个细胞？
请比较细胞分裂四次后的个数式子：和细胞分裂六次后的个数式子：.
问题 这两个式子有什么相同点
思考 同学们想一想：这样的运算能像平方、立方那样简写吗？
2.练习：
(1)(-3)2的底数是 ,指数是 ,(-3)2表示2个 相乘,读作 的 2次方,也读作-3的平方;
(2)()5表示 个 相乘,读作的 次方,也读作的 ,其中叫作 ,5叫作 .
3.计算:
(1)(-3)3; (2)(-)2; (3)(-)3; (4)(-1)2025.
4.(1)(-2)2与-22表示的意义一样吗
解:不一样,(-2)2表示-2的平方,-22表示2的平方的相反数.(-2)2与-22互为相反数.
(2)()2与表示的意义一样吗
5.用计算器计算(-8)5和(-3)6.
四.运用新知
1.理解定义填空:
(1)(-5)2的底数是 ,指数是 .
(2)()6表示 个相乘,读作的 次方,也读作的 次幂,其中叫作 ,6叫作 .
2.观察24,219,(-5)2,()6,比较其表示法有什么不同
3.计算
(1)42 24 (2)32 -32 (-3)2 (3)()3
4.找朋友(计算下列式子,看谁的结果和给出的四个式子的结果一样):
①-1×32 ②(-1)10 ③(-)×(-)×(-) ④-|-27|
(-1)2009 -6 - - - (-3)×(-3)×(-3) (-1)100 (-3)3 - (-1)2 (-1)5
(-)3 (-3)×(-3) 27 -32 (-1)2008 -3×3 9
(-3)2 -27
5.计算
(1)(-3)2×(-);
(2)-23×(-32);
(3)64÷(-2)5;
(4)(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4.
五.达标测试
1．若一个数的平方等于它本身，则这个数是( )
A．0 B.1 C.－1，1 D.0，1
2．下列各组数中，互为相反数的有( )
①－(－2)和－|－2|；②(－1)2和－12；③23和32；
④(－2)3和－23.
A．④ B.①② C.①②③ D.①②④
3．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
4．计算：
(1)(－)2；
(2)－(－6)3；
(3)－；
(4)(－3)2×(－2)3.
参考答案
1.D 2.B 3.256
4.解：(1)(－)2＝(－)×(－)＝.
(2)－(－6)3＝－(－6)×(－6)×(－6)＝216.
(3)－＝－＝－.
(4)(－3)2×(－2)3＝9×(－8)＝－72.
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第1课时 有理数的乘方
理解乘方的意义,掌握有理数的乘方运算.
1.在现实背景中感受有理数乘方的必要性,掌握有理数乘方的相关概念.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.通过探索有理数乘方的运算过程,感受化归的数学思想.
重点:正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点:有理数的乘方的运算及幂的符号法则.
1.从实际问题出发,提出问题,引导学生积极思考,并总结出答案,由答案的表现形式向学生提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念.
2.通过类比乘法与加法的关系,使得学生对乘方和乘法的关系有大致的猜测和感性认识,为下一步的验证提供方向,也感受到数学中类比的思想.
(一)情境导入
古希腊数学家阿基米德与国王下棋,国王输了,问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒麦子,在第二个格子中放进第一个格子的两倍,每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍,一直将棋盘每一个格子摆满.”国王觉得很容易,可以满足他的要求,于是就同意了.但很快国王就发现,即使将国库所有的粮食都给他也不够.你们知道这是为什么吗
(二)新知初探
探究一 乘方的意义
问题1 若正方形的边长为2,则它的面积为多少
2×2=22,读作2的平方(或二次方).
问题2 棱长为2的正方体的体积为多少
2×2×2=23,读作2的立方(或三次方).
问题3 某种细胞每30 min便由一个分裂成两个.经过3 h这种细胞由1个能分裂成多少个
提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞 分裂两次呢 分裂三次呢 四次呢 那么3 h共分裂了多少次 有多少个细胞 请列出算式.
解:一次:2个;
两次:2×2个;
三次:2×2×2个;
四次:2×2×2×2个.
3 h共分裂六次,六次:2×2×2×2×2×2个.
问题4 这些式子有什么相同点
解:它们都是乘法,并且它们各自的因数都相同.
思考 同学们想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗
小结:一般地,n个相同的乘数a相乘,即,记作an,读作“a的n次方”.
求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在an中,a叫作底数,n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.
一个数可以看作这个数本身的1次方,例如8就是81,指数1通常省略不写.
任务一 意图说明
1.通过实际问题,为学生提供数学活动的机会,通过动手实践和合作交流,使学生在现实情境中得出乘方的定义,经历数学知识的发生、发展过程.强调乘方是一种特殊的乘法运算.
2.通过解决练习中的问题,让学生明确对于分数及负数的乘方,书写时底数一定要添加括号.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-3)3; (2)（-）2; (3)（-）3;
(4)(-1)2 025.
解:(1)(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)
=-(3×3×3)
=-27.
(2)（-）2=（-）×（-）=.
(3)-（）3=（-）×（-）×（-）=-.
(4)(-1)2 025=-1.
问题 负数的幂的正负与指数有什么关系
小结:
(1)负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;
(2)-1的奇数次幂是-1,-1的偶数次幂是1;
(3)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.
2.(1)(-2)2与-22表示的意义一样吗
(2)（）2与表示的意义一样吗
解:(1)不一样,(-2)2表示-2的平方,-22表示2的平方的相反数.(-2)2与-22互为相反数.
(2)不一样,（）2表示的平方,表示2的平方再除以3.
3.用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解:用带符号键(-)的计算器.
((-)8) ^ 5=
显示:(-8)^ 5
-32 768.
((-)3) ^ 6=
显示:(-3)^ 6
729.
所以(-8)5=-32 768,(-3)6=729.
任务二 意图说明
1.通过具体的例子,引导学生归纳得出幂的符号法则.底数是正数,负数或0时,幂的符号是有区别的.
2.通过习题巩固学生的计算能力,让学生逐步熟悉有理数的乘方运算,进一步规范幂的书写格式,使学生加深对有理数的乘方运算的印象.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.乘方的意义
(1)一般地,n个相同的乘数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”;
(2)求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.
2.乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)零的任何正整数次幂都是零;
(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
3.(-a)n与-an的区别和联系
(-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数.
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2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘方
第1课时 有理数的乘方
1.在现实背景中感受有理数乘方的必要性,掌握有理数乘方的相关概念.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.通过探索有理数乘方的运算过程,感受化归的数学思想.
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
古希腊数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子，在第二个格子中放进第一个格子的两倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他也不够．你们知道这是为什么吗？
壹
新知初探
贰
新知初探
问题1:若正方形的边长为2,则它的面积为多少
探究一 乘方的意义
问题3:某种细胞每30 min便由一个分裂成两个经过3 h这种细胞由1个能分裂成多少个？
2×2=22,读作2的平方(或二次方)
问题2:棱长为2的正方体的体积为多少
2×2×2=23,读作2的立方(或三次方)
贰
第一次
第二次
第三次
分裂方式如下所示:
提示：这个细胞分裂一次可得多少个细胞 分裂两次呢 分裂三次呢 四次呢？那么3小时共分裂了多少次 有多少个细胞？
解: 一次: 2个;
两次: 2×2个;
三次: 2×2×2个;
四次：2×2×2×2个；
3h共分裂六次，
六次: 2×2×2×2×2×2个.
问题4 这些个式子有什么相同点
解：它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同.
思考 同学们想一想：这样的运算能像平
方、立方那样简写吗？
一次: 2个; 两次: 2×2个; 三次: 2×2×2个;
四次：2×2×2×2个； 六次: 2×2×2×2×2×2个.
小结：一般地，n个相同的乘数a相乘，即
记作an，读作“a的n次方”.
这种求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂.
在an中，a叫作底数，n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时，
也可读作“a的n次幂”
一个数可以看作这个数本身的1次方，例如8就是81，指数通常省
略不写.
a·a·a· ·a = an
n个
…
幂
指数
因数的个数
底数
因数
乘方的结果
1.计算：(1)(－3)3; (2)(－ )2； (3)(－ )3; (4)(－1)2025．
解：(1)原式＝ (-3)×(-3)×(-3) ＝-(3×3×3)＝-27.
(2)原式＝
(3)原式＝
(4)原式＝－1.
小结：(1)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
(2)-1的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1；
(3)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
探究二 例题讲解
问题 负数的幂的正负与指数有什么关系？
2.(1)(－2)2与－22表示的意义一样吗？
(2) 表示的意义一样吗？
解：(1)不一样，(－2)2表示－2的平方，
－22表示2的平方的相反数.(－2)2与－22互为相反数.
(2)不一样，
3.用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解：用带符号键 的计算器.
(-)
=
)
(-)
(
＜
8
5
显示：(-8) 5
＜
-32768.
729.
所以(-8)5=-32768,(-3)6=729.
=
)
(-)
(
3
6
＜
显示：(-3) 6
＜
当堂达标
叁
1．算式(- )×(- )×(- )×(- )可表示为（ ）
A．(- )4 B．(- )×4 C．-( )4 D．以上答案均不对
2．关于－74的说法正确的是（ ）
A．底数是－7 B．表示4个－7相乘
C．表示4个7相乘的积的相反数 D．表示7个－4相乘
3．现规定一种新的运算“○”：m○n＝mn，如3○2＝32＝9，则(- )○3的值为（ ）
A． B．- C．- D．-
B
A
C
当堂达标
叁
5．你吃过拉面吗？拉面是把1根面条对折成2根拉开，再对折成4根……依次这样进行对折，对折10次有多少根面条？有128根面条
时对折了多少次？
解：210＝1024(根)，128＝27．
答：对折10次有1024根面条，有128根面条时对折了7次．
4．计算：
(1)- ; (2)- ; (3)-42; (4)(-5)2.
解：(1) ．
(3) -16 ．
(4) 25 ．
(2) ．
课堂小结
肆
课堂小结
1.乘方的意义
(1)一般地,n个相同的乘数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”.
(2)求n个相同因数的积的运算叫作乘方,乘方的结果叫作幂.
2.乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)零的任何正整数次幂都是零;
(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
3.(-a)n与-an的区别和联系
(-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数.
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
谢
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2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘 方
第1课时 有理数的乘方
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1.求n个相同乘数的积的运算,叫作 .乘方的结果叫作 .
2.n个相同的乘数a相乘,记作 ,读作 ,也读作
,a叫作 ,n叫作 .
3.有理数乘方的符号法则:负数的奇次幂是 ,偶次幂是 ;正数的任何次幂都是 ;0的任何正整数次幂都是 .
乘方
幂
an
a的n次方
a的n次幂
底数
指数
负数
正数
正数
0
课堂互动
知识点1 有理数乘方的意义
例1 (-9)8表示的意义是( )
A.-9乘8
B.8个-9相乘
C.9个8相乘的相反数
D.8个9相乘的相反数
B
知识点2 有理数的乘方运算
例2 计算:
(1)(-5)2; (2)-52;
(3)(-2)3; (4)-(-2)3.
[思路点拨] 分清楚幂的底数与指数,按照乘方的意义进行运算.
解:(1)(-5)2=25.
(2)-52=-25.
(3)(-2)3=-8.
(4)-(-2)3=-(-8)=8.
知识点3 用计算器计算乘方
例3 用计算器计算:
(1)(-11)6= ;
(2)8.42= ;
(3)134= .
1 771 561
70.56
28 561
基础题
1.下列数值中,(-4)2的计算结果是( )
A.8 B.-8
C.16 D.-16
2.下列说法正确的是( )
A.-25的底数是-2
B.-110读作“-1的10次幂”
C.(-2)3与-23意义相同
D.(-2)3=-23
C
D
D
C
5
1
解:(1)(-11)2=121.
(2)(-0.3)3=-0.027.
(3)-23=-8.
(4)-32=-9.
中档题
A
B
10.一张纸的厚度为0.09 mm,假设连续对折始终都是可能的,那么至少对折n次后,所得的厚度可以超过厚度为0.9 cm的数学课本.则n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.已知有理数x,y,若|x|=3,|y|=2,且 x<0C
9
12.你喜欢吃拉面吗 拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合、拉伸,反复多次,就能拉成许多细面条,如图所示:
经过第3次捏合、拉伸后,可以拉出多少根细面条 经过多少次捏合、拉伸后,可拉出64根细面条
解:23=8,26=64.
答:经过第3次捏合、拉伸后,可以拉出 8根细面条.经过6次捏合、拉伸后,可拉出64根细面条.
素养题
(3)(-1)4×24与(-1×2)4;
解:(3)(-1)4×24=1×16=16,
(-1×2)4=(-2)4=16,
所以(-1)4×24=(-1×2)4=16.
(4)(-5)2×42与(-5×4)2.
试用你发现的规律计算(-0.25)2 023×42 024的值.
解:(4)(-5)2×42=25×16=400,
(-5×4)2=(-20)2=400,
所以(-5)2×42=(-5×4)2=400.
规律为两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂,
即am·bm=(ab)m(m为正整数).
(-0.25)2 023×42 024=(-0.25)2 023×42 023×4=(-0.25×4)2 023×4=
(-1)2 023×4=-4.
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