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2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘方
第2课时 有理数的混合运算
一.学习目标
1.了解有理数混合运算的意义，掌握有理数的运算法则及运算顺序.
2.能够熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的运算，并在运算过程中合理使用运算律.
二.自主预习
1.观察式子，里面包含了哪几种运算？
算式中，含有有理数的______、_______、_______、________及_______运算，这样的运算叫作有理数的混合运算.
2.有理数的混合运算，应该按照什么顺序来计算？
议一议：下面两题的解法正确吗？若不正确，问题出在哪里？
（1）
解：原式
.
=0.
（3）
解：原式
.
【自主归纳】有理数的混合运算顺序是：先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，要先算括号里面的.
三.探究新知
探究点一 有理数的混合运算
1.下列式子30+5÷22×(-)-1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么 并进行计算.
归纳：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行.
例1.计算：2×(-3)2-4×(-4)+15.
例2.计算：(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).
例3.计算：.
探究点二 数字规律探究
1.观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64,…;①
0,6,-6,18,-30,66,…;②
-1,2,-4,8,-16,32,….③
(1)第①行数按什么规律排列
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
2.为了求1+2+22+23+24+…+22024的值,可令S=1+2+22+23+…+22024,则2S=2+22+23+24+…+22025,因此2S-S=22025-1,所以1+2+22+23+…+22024=22025-1,仿照以上推理,那么1+5+52+…+52024= .
四.运用新知
1.计算:(-1)10×2+(-2)3÷4; (-5)3-3×(-)4.
2.计算:
(1)×()×; (2)(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2].
3.观察下列式子1=21-1
1+2=22-1
1+2+22=23-1
猜想:1+2+22+23+…+263=
若n是正整数,那么1+2+22+…+2n=
4.有一张厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为2×0.1毫米.
(1)对折2次后,厚度为多少毫米
(2)对折20次后,厚度为多少毫米 有多少层楼高 (假设1层楼高3米)
(3)取一张厚约为0.1毫米的长方形白纸,将它对折30次之后,厚度为多少米 能超过珠穆朗玛峰吗 (8848米)
五.达标测试
1．计算－2×32－(－2×3)2的结果为( )
A．0 B.－54 C．－72 D．－18
2．下列计算：
①74－22÷70＝70÷70＝1；②2×32＝(2×3)2＝62＝36；
③6÷(2×3)＝6÷2×3＝3×3＝9；
④－(－2)×(－)＝－(－1)＝＋＝.
其中错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．观察下列各式：
1＝21－1，1＋2＝22－1，1＋2＋22＝23－1，….
猜想：
(1)1＋2＋22＋23＋…＋263＝ ；
(2)若n是正整数，则1＋2＋22＋23＋…＋2n＝ .
4．计算：
(1)－10＋8÷(－2)2－(－4)×(－3)；
(2)4×(－3)2－5×(－2)3＋6；
(3)－14－×[2－(－3)2]；
(4)(－3)2－1×－6÷|－|2.
参考答案
1.B 2.D 3. 264－1 2n＋1－1
4.解：(1)原式＝－10＋8÷4－12＝－10＋2－12＝－20.
(2)原式＝4×9－5×(－8)＋6＝36＋40＋6＝82.
(3)原式＝－1－×(2－9)＝－1－×(－7)＝－1＋＝.
(4)原式＝9－－6÷＝9－－＝－4.
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第2课时 有理数的混合运算
掌握有理数的混合运算(以三步以内为主).能运用运算律简化运算.
1.了解有理数混合运算的意义,掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算,并在运算过程中合理使用运算律.
重点:掌握有理数的混合运算的法则,正确、熟练地进行有理数的混合运算.
难点:灵活巧妙地应用运算律进行简便计算.
1.在复习回顾四则运算法则的基础上,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯.
2.小组讨论有理数运算法则后,教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定,特别是加入乘方以后,学生对乘方运算不熟悉,容易算成加法或底数与指数相乘.学生在运算符号多的时候容易出错,需要进行针对性讲解及练习.
(一)情境导入
前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉,如果遇到有理数的混合运算,你有信心进行准确的计算吗 下图是小玲和小亮的对话,你同意小亮的说法吗
(二)新知初探
探究一 有理数的混合运算
下列式子30+5÷22×（-）-1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么 并进行计算.
解:式子中含有加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.先算乘方,再算乘除,最后算加减.
30+5÷22×（-）-1
=30+5÷4×（-）-1
=30+×（-）-1
=30--1
=28.
小结:做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
任务一 意图说明
利用小学学习的四则混合运算的法则,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯,同时还让学生体会知识的延续性.
探究二 例题讲解
1.计算:2×(-3)3-4×(-3)+15.
解:原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27.
2.计算:(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).
解:原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)
=-8+42+4.5
=38.5.
3.计算:(-3)2×（-+（-））.
解:法一 原式=9×（-）=-11.
法二 原式=9×（-）+9×（-）=-6-5=-11.
小结:有理数的混合运算可用下面的口诀记忆:混合运算并不难,符号第一记心间;加法需取大值号,乘法同正异负添;减变加改相反数,除改乘法用倒数;混合运算按顺序,乘方乘除后加减.
任务二 意图说明
1.学生通过交流,正确归纳出有理数混合运算顺序,再在实际解题过程中寻找规律,发现问题,学生间互相辨析指正.在这个过程中教师重点引导学生发现自己的错误,规范学生的解答过程..
2.合理选择步骤和运算律可以简化运算.
探究三 数字规律探究
1.观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64,…;①
0,6,-6,18,-30,66,…;②
-1,2,-4,8,-16,32,….③
(1)第①行数按什么规律排列
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
解:(1)第①行数是-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,….
(2)第②行数是第①行相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,….
第③行数是第①行相应的数的倍,即(-2)×,(-2)2×,(-2)3×,(-2)4×,….
(3)每行数中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×
=1 024+(1 024+2)+1 024×
=1 024+1 026+512
=2 562.
2.为了求1+2+22+23+24+…+22 024的值,可令S=1+2+22+23+…+22 024,则2S=2+22+23+24+…+22 025,因此2S-S=22 025-1,所以 1+2+22+23+…+22 024=22 025-1,仿照以上推理,那么1+5+52+…+52 024= .
任务三 意图说明
观察等式,可发现规律,根据规律即可进行解答.通过练习可培养学生对数的感觉,提高学生抽象与归纳的能力,培养学生思维的逻辑性和灵活性,进一步发展学生的思维.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的混合运算
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
2.应用运算律简化运算.
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2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘方
第2课时 有理数的混合运算
1.了解有理数混合运算的意义,掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算,并在运算过程中合理使用运算律.
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉，如果遇到有理数的混合运算，你有信心进行准确的计算吗？下图是小玲和小亮的对话，你同意小亮的说法吗？
壹
新知初探
贰
探究一 有理数的混合运算
乘方运算
第三级运算
第一级运算
加减运算
第二级运算
乘除运算
新知初探
贰
下列式子30+5÷22×(- )-1，含有哪几种运算？先算什么，后算什么？并进行计算.
解：式子中含有加法、减法、乘法、
除法、乘方五中运算.先算乘方，
再算乘除，最后算加减.
30+5÷22×(- )-1
＝30+5÷4×(- )-1
＝30+ ×(- )-1
＝30- -1
＝28
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
小结
探究二 例题讲解
1. 计算：2×(-3)2-4×(-4)+15.
解：原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27.
2.计算：(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).
解：原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)
=-8+42+4.5
=38.5.
解：法一
原式=
解：法二
原式=
点拨：在运算过程中，巧用运算律，可简化计算.
=–11
= –6+(–5)
= –11
3.计算
小结：有理数的混合运算可用下面的口诀记忆：
混合运算并不难，符号第一记心间；加法需取大值号，乘法同正异负添；减变加改相反数，除改乘法用倒数；混合运算按顺序，乘方乘除后加减．
探究三 数字规律探究
观察下面三行数： -2， 4， -8， 16， -32， 64，…；①
0， 6， -6， 18， -30， 66，…；②
-1， 2， -4， 8， -16， 32，…. ③
解：（1）第①行数是
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
解：（2）第②行数是第①行相应的数加2，即
第③行数是第①行相应的数除以2，即
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
解：（3）每行数中的第10个数的和是
观察下面三行数： -2， 4， -8， 16， -32， 64，…；①
0， 6， -6， 18， -30， 66，…；②
-1， 2， -4， 8， -16， 32，…. ③
2.为了求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22024的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22024，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22025，因此2S－S＝22025－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22024＝22025－1，仿照以上推理，那么1＋5＋52＋…＋52024＝______．
分析：观察等式，可发现规律，根据规律即可进行解答．
则设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52024，
5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52025，
5S－S＝52025－1，
∴S＝ .
当堂达标
叁
1．对于计算－24＋18×(－3)÷(－2)，下列过程错误的是（ ）
A．－16＋[18÷(－2)]×(－3)
B．－16＋(18÷2)×3
C．16－54÷2
D．－16＋(－54)÷(－2)
2．计算3×(－4)－22，结果是（ ）
A．8 B．4 C．-8 D．-16
D
C
当堂达标
叁
3．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为－5，则输出的值为 ．
－15
(1)(－1)10－8÷(－2)＋4×|－5|；
解：原式＝1＋4＋20＝25．
(2)(－10)3＋[(－4)2－(1－32)×2]；
解：原式＝－1000＋[16－(－8)×2]
4.计算：
＝－1000＋16＋16＝－968．
(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 ；
(2)请将其更正．
没按运算顺序计算，先算了后面的乘法
三
结果的符号出错
解：原式＝－4÷(- )×6
＝－4×(- )×6＝ ．
二
5．阅读下面的解题过程并回答问题．
计算：－22÷(- - -3)×6．
＝－4÷(- )×6 (第一步)
＝－4÷(-25) (第二步)
＝－ ． (第三步)
课堂小结
肆
课堂小结
1.有理数的混合运算
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、
中括号、大括号依次进行.
2.应用运算律简化运算.
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第(1)(2)题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第(3)(4)题
谢
谢(共15张PPT)
第2课时 有理数的混合运算
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有理数的混合运算顺序:
(1)先 ,再 ,最后 ;
(2)同级运算,按 进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按 、 、
依次进行.
乘方
乘除
加减
从左到右
小括号
中括号
大括号
课堂互动
知识点1 有理数的混合运算
知识点2 有理数的规律探究
例2 观察下列每组数,在横线上填上适当的数.
(1)1,9,25,49, , ;
81
121
16
-32
基础题
1.计算3×(-4)-22的结果是( )
A.8 B.4
C.-8 D.-16
2.根据流程图中的程序,若输入x的值为0,则输出y的值为( )
A.5 B.7
C.70 D.187
3.观察下列等式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,….用你所发现的规律确定22 022的个位数字是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
D
C
B
4.下面是小明在作业本上记录的计算题,请补充完整.
(1)计算:-32+5-8×(-2).
解:原式= (先算 )
= (再算 )
= (最后算加减);
(2)计算:2-[10-(1-5)×2].
解:原式= (先算 里面的)
= (再算 里面的)
= (最后算加减).
-9+5-8×(-2)
乘方
-9+5-(-16)
乘法
12
2-[10-(-4)×2]
小括号
2-18
中括号
-16
中档题
6.现定义新运算“※”,对任意有理数a,b,规定a※b=ab-ab,则(-1)※
2 022的值为( )
A.2 023 B.2 022
C.-2 023 D.-2 021
7.(跨学科融合)“今有蒲生一日,长三尺;蒲生日自半”.其意思是“有蒲这种植物,蒲第一日长了3尺,以后蒲每日生长的长度是前一日
的一半”.请计算出第四日后,蒲的长度为 尺.
A
解:(1)(-2)2×5-(-2)3÷4=4×5-(-8)÷4=20-(-2)=20+2=22.
10.数形结合是一种重要的数学方法,许多重要的计算转化成图形后,非常巧妙且简单.如图所示是边长为1的正方形,图形中的数字表示对应的长方形或正方形的面积,观察图形,解决下列问题.
(1)图中a表示的数值是 ;
素养题
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