江苏省徐州市2015-2016学年度高一第一学期期末抽测数学试题

2015-2016学年度第一学期期末抽测
高一年级数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）
1.已知全集，，，则 ．
2.函数的定义域为 ．
3.若幂函数的图象过点，则实数 ．
4. ．
5.已知向量，，且，则的值为 ．
6.若，，则的值为 ．
7.已知，，且，则向量与的夹角为 ．
8.若方程的根，其中，则 ．
9.若角的终边经过点，则 ．
10.已知向量，，若（，），则的值为 ．
11.已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
12.已知函数（且），当时，恒有，则函数的单调增区间为 ．
13.已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
14.若方程在上有且只有两解，则实数的取值范围是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分14分）
已知集合，．
（1）用列举法表示集合和；
（2）求和；
（3）若集合，中仅有个元素，求实数的取值范围．
16.（本题满分14分）
已知函数（，，），若函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，当时，函数取得最大值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若，求函数的值域．
17.（本题满分14分）
设向量，，且．求：
（1）；
（2）；
（3）．
18.（本小题满分16分）
如图，在菱形中，，，且为对角线上一点．
（1）求；
（2）若，求；
（3）连结并延长，交于点，连结，设（）．当为何值时，可使最小，并求出的最小值．
19.（本小题满分16分）
某民营企业生产甲乙两种产品．根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资额成正比，其关系如图；乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（利润与投资单位：万元）．
（1）试写出利润和的函数关系式；
（2）该企业已筹集到万元资金，并全部投入甲乙两种产品的生产．问怎样分配这万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润是多少万元？
20.（本小题满分16分）
已知函数（且）．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）设，当时，求函数的值域；
（3）若，设的最小值为，求实数的值．
2015—2016学年度第一学期期末抽测
高一数学试题参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．或
二、解答题
15．（1），……………………………………………………………2分
． ……………………………………4分
（2）， ……………………………………………………………7分
． …………………………………………………10分
（3）如图所示：
实数的取值范围为． …………………………………………14分
16．（1）因为当时，函数取得最大值，所以，……………1分
　　　 因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，
所以，即，所以， ……………………………3分
将点代入，得，
因为，所以，…………………………………………………5分
所以．…………………………………………………6分
（2）令，， ……………………………8分
解得，，
所以的单调减区间是． ………………10分
（结果未写出区间形式或缺少的，此处两分不得）
（3）当，，， …………12分
所以函数的值域是． ………………………………………14分
17．解法一：（1）由，得， ………………………………2分
　　　　 解得． ………………………………………………4分
（2） ………………………………………7分
　　　　　　　　　 ． ……………………………………9分
（3） ……………………12分
　　　　　　　　　　 　． …………14分
解法二：（1）由，得， ……………………………2分
　　　　 解得． …………………………………………4分
（2）由 解得或 …8分
将数值代入得． ……………………………11分
　　 （3）由（2），代入数值得． …………………14分
18．（1）． …………………2分
（2）因为，
所以 ……4分
． …………………………………………5分
又，所以， …………………………6分
故． …………………8分
（3）因为，∽，，
故，， ……………………………………………10分
所以
， ……………………14分
故当时，的值最小，最小值为． ……………………16分
19．（1）设，代入，解得，所以，…………………3分
设，代入，解得，所以．……………6分
（2）设投入乙产品万元，则甲产品投入万元，
利润总和为，， …………………………9分
（少定义域扣1分）
记，则， ………………………………………………11分
此时， …………………………………13分
当，即时，取得最大值． …………………………15分
答：对甲乙产品分别投入万元和万元时，可使获利总额最大，
最大获利为万元． …………………………………………………………16分
20．（1）函数的定义域为，对任意的，
都有，
所以为偶函数． ………………………………………………………2分
（2）因为，所以(且)，………………4分
①当时，因为，所以，设，，，
在区间内任取两个数，，，
则，
因为，，所以，即，
所以在上是单调增函数， ………………………………6分
故，
所以． ……………………………8分
②当时，，，同理可得．
综上所述，的值域为． …………………………………10分
（3）若，则或，所以， …………………11分
，
令，
因为，故，即， …………12分
令，
①若，则，解得，
又因为，所以，
②若，则，解得（舍）．
综上所述，实数的值为． …………………………………………16分
a
x
2
1
0
﹣1