2024-2025学年北师大版单元测试：等式与不等式
一、选择题
1．已知二次方程的一个根为1，则另一个根为( )
A. B. C.2 D.4
2．如果，，且，那么等于( )
A.2 B. C.1 D.
3．下列命题中的真命题是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若,，则
4．在R上定义运算“”：,则满足的实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．若不等式的解集是,函数的对称轴是( )
A. B. C. D.
7．已知,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．“不等式在R上恒成立”的充要条件是( )
A. B. C. D.
9．已知，，且，则的最小值为( )
A.8 B. C.9 D.
10．当,,且满足时,有恒成立,则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
11．已知,,且,则的最小值是( )
A.1 B. C.2 D.3
12．已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的数是( )
A. B. C. D.
13．若,则( )
A.有最小值-2 B.有最大值-2 C.有最小值2 D.有最大值2
14．下列命题正确的是( )
A. B.
C.且 D.
15．已知实数x，y满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
16．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为( )
A. B. C. D.
17．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则( )
A. B.
C. D.以上选项都有可能
18．若，则下列不等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
19．设，则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
20．已知，则( )
A. B.
C. D.
参考答案
1．答案：A
解析：设另一根为x，由韦达定理可知，，
即，
故选：A.
2．答案：D
解析：，是方程的两个不相等实数根，
则.
故选：D.
3．答案：B
解析：选项A：若，则不成立，即A错误；
选项B：由不等式性质可知：若，则有，即B正确；
选项C：当，时，由，可得，即C错误；
选项D：当，，，时，有,成立，
但此时，，由可知，不成立，即D错误.
故选：B.
4．答案：B
解析：根据给出在R上定义运算,
由得,解之得,
故该不等式的解集是.
故选：B.
5．答案：D
解析：当时,,故,当且仅当,即时等号成立,
所以不等式恒成立,故,故,
故选：D.
6．答案：A
解析：不等式的解集是,
和是方程的两个根,
,,
函数的对称轴是.
故选:A.
7．答案：A
解析：设,
所以,解得,即可得,
因为,,
所以,
故选:A.
8．答案：A
解析：不等式在R上恒成立，
，解得，
又，，则不等式在R上恒成立，
“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，
故选：A.
9．答案：C
解析：由可知，，
所以，
当，即时，等号成立，
联立，得，
所以当时，的最小值为9.
故选：C.
10．答案：A
解析：由题意可知,
当且仅当,即,时取得等号,
故,即A正确;
故选:A
11．答案：D
解析：因为,所以,
因为,,
所以
当且仅当,即,时,等号成立.
故选:D.
12．答案：B
解析：令,,则,其中最大.
由于a,b为互不相等的正实数,所以所以.而,
所以,而.所以最大.
故选：B
13．答案：B
解析：因为,则,
所以,当且仅当即：时取等号.
所以,当且仅当时取等号.
故选：B.
14．答案：A
解析：对于选项A，，，又，成立，故A正确；
对于选项B，当，时，结论明显错误，故B错误
对于选项C，当，，，时，，所以结论错误，故C错误
对于选项D，当，时，，所以结论错误，故D错误
故选：A.
15．答案：B
解析：令，，则，所以.因为，所以.因为，所以，所以.
故选：B.
16．答案：B
解析：由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.
故选：B.
17．答案：A
解析：由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设，
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，
由杠杆的平衡原理：，，
解得，，
则，
下面用作差法比较与12的大小，
，
又，，
，
顾客实际购买的黄金大于12克.
故选：A.
18．答案：B
解析：，，即，A正确；
，，，故B错误；
，，故C正确；
，，，即，故D正确.
故选：B.
19．答案：B
解析：令，，满足，
但，，，故A，C，D错误.
由，得，所以，故B正确.
故选：B.
20．答案：D
解析：对于A，因为，所以，即，故错误；
对于B，取，则，故错误；
对于C，由，得，所以，故错误；
对于D，由，得，所以，故正确.
故选：D.2024-2025学年北师大版单元测试：集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3．设集合,,则( )
A. B. C.R D.
4．如图,已知矩形U表示全集,A、B是U的两个子集,则阴影部分可表示为( )
A. B. C. D.
5．已知集合,,若,则( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
6．设集合,,则( )
A. B. C. D.
7．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
8．满足集合为M的子集且的集合M的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.15
9．设集合，，则中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
11．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
12．若集合,,则( )
A. B. C. D.
13．已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
14．设集合,,则( )
A. B. C. D.
15．已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是( )
A.， B.， C.， D.，
16．设集合,,则( )
A. B. C. D.
17．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
18．集合,集合,则( )
A. B. C. D.
19．设集合，，则( )
A. B. C. D.
20．设集合,若,则( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得:,,
所以.
故选:B.
2．答案：B
解析：由集合，，
可得.
故选：B.
3．答案：A
解析：,,
则.
4．答案：D
解析：在阴影部分区域内任取一个元素x ,
则 且,即且,
所以,阴影部分可表示为.
故选：D.
5．答案：C
解析：,或,
解得或.
当时,,则,满足题意;
当时,,则,不满足题意;
综上所述,.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意,
故选：A.
7．答案：C
解析：因为，且，故.
故选：C
8．答案：C
解析：因为集合，
则集合M可以为，，，，，，，
共8个，
故选：C
9．答案：B
解析：设函数，
则，，，
所以集合，由集合，
则，中元素的个数为2，
故选：B.
10．答案：A
解析：因为，，
所以.
故选：A.
11．答案：D
解析：由，有，即，所以；
由令，根据二次函数的性质有，
所以，又因为，所以，；
所以.
故选：D
12．答案：A
解析：解不等式,得,
故,所以.
故选：A.
13．答案：C
解析：集合，因为集合A为大于等于0的偶数集，集合或，
所以，.
故选：C.
14．答案：D
解析：由集合为奇数集,,
得.
15．答案：B
解析：已知命题p：有些实数的相反数是正数，即，
则，
故选：B.
16．答案：C
解析：由,解得,则.
又,
.
故选：C.
17．答案：D
解析：命题“,”的否定是：“,”.
故选：D.
18．答案：C
解析：由,解得:,或,
.
故选:C.
19．答案：B
解析：因为，所以，
又，所以.
故选：B
20．答案：C
解析：由题意可知,
故.
故选：C.
