2024-2025学年北师大版单元测试：函 数
一、选择题
1．已知函数的定义域为R，且，，则( )
A.1 B.2 C. D.
2．若，则的值为( )
A. B. C. D.
3．已知函数的单调递减区间为，则实数a的值为( )
A. B. C.1 D.2
4．若定义在R上的函数满足：对于任意，，有，且当时，在，设在上的最大值，最小值分别为M，m，则的值为( )
A.6 B. C. D.
5．下列函数中，存在最小值的是( )
A. B. C. D.
6．函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
7．若函数在R上单调递增，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
9．已知函数，若，，则下列说法正确的是( )
A.当时，有最小值 B.当时，无最大值
C.当时，有最小值 D.当时，有最大值
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，，，已知函数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
11．函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
12．已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为( )
A. B.1 C. D.
13．若函数是减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
14．已知，则函数的解析式为( )
A. B.（）
C.（） D.（）
15．下列各组函数是同一个函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
16．设函数，则方程的实根个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
17．下列函数中，值域为的是( )
A. B.
C. D.
18．已知函数的值域为R，那么a的取值范围是( )
A. B. C. D.
19．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是( )
A.0 B. C. D.
20．已知，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案
1．答案：D
解析：因为函数的定义域为R，且①，
①式中，用替换x，可得：②
由①②得：，所以函数为偶函数.
①式中，令，可得：；
另：令，可得：，所以；
令可得：，所以；
令可得：，所以.
①式中，用替换x，可得：
，
迭代可得：，即.
所以，故是以6为周期的周期函数.
所以，，
所以.
故选：D
2．答案：D
解析：，，即，
，
故选：D.
3．答案：A
解析：，
当时，即，此时在，单调递增，在，
由于的单调递减区间为，则，得，
当时，即，此时在，单调递增，在单调递减，这与的单调递减区间为矛盾，故不符合题意，
当时，，此时在整个定义域上单调递增，故不符合题意，
综上可得，
故选：A.
4．答案：B
解析：令，，解得：；
令，，，
设，
则；
，，，
在上单调递减，，，
.
故选：B.
5．答案：B
解析：单调递减值域为R，无最小值，A选项错误；
在单调递减，在单调递增，当取得最小值，B选项正确；
单调递增，值域为，无最小值，C选项错误；
单调递增，值域为R，无最小值，D选项错误.
故选:B.
6．答案：C
解析：由可得，
解得或，
由图象的对称轴为，
则在上单调递增，
故的单调递减区间为，
故选：C.
7．答案：C
解析：要使在R上单调递增，
故在上递增，在上递增，且，
所以.
故选：C.
8．答案：A
解析：因为对任意，，都有成立，
所以是R上的减函数，
则，解得.
故选：A.
9．答案：D
解析：对于选项AB：当时，显然，即，
当，时，则，
显然当m越大，越接近于0，但不能取0，
即没有最小值；
当，时，则；
当a，b异号时，则，，且，
此时当，时，取到最大值2；
综上所述：没有最小值，有最大值2，故AB错误
对于选项CD：当时，
当，时，则，
可知b越小，越大，即取不到最大值，且当时，有最小值1；
当，时，则；
当a，b在y轴两侧时，此时，，
令，解得或（舍去）；
令，解得；
令，解得；
则，
当时，取到最小值；
综上所述：有最小值，无最大值，故C错误，D正确；
故选：D.
10．答案：D
解析：，
，故，则，故，
即，故的值域为.
故选：D.
11．答案：A
解析：函数是定义在上的增函数，
有，解得，
不等式的解集为，
故选：A.
12．答案：D
解析：因为在单调递减，在单调递增，
若，即时，则在上单调递减，
所以，此时的最小值为1.
若，即，则在上单调递增，
所以，此时的最小值为.
若且，即，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时的最小值为.
若且，即，则在上单调递减，
在上单调递增，所以，此时的最小值为.
综上，的最小值为.
故选：D.
13．答案：A
解析：由题意当时，单调递减，则，即，
当时，单调递减，则，
要保证单调递减，则还需，解得，
综上所述，a的取值范围是.
故选：A.
14．答案：C
解析：设（），则，
，
所以（），
故选：C.
15．答案：A
解析：与定义域和对应关系均相同，是同一函数，故A正确；
与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故B错误；
与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故C错误；
由解得或，则的定义域为或，
由且得，则的定义域，
与定义域不同，不是同一函数，故D错误.
故选：A.
16．答案：B
解析：令，则方程即，
当时，，；当时，，；
当时，若，则，，符合题意；
若，则，，不合题意；
当时，若，则，，符合题意；
若，则，，符合题意，
即方程的实根个数为3，
故选：B.
17．答案：D
解析：对于选项A，，所以的值域是，
对于选项B，，因为，所以，故的值域为，
对于选项C，因为，所以，当且仅当时取等号，故的值域为，
对于选项D，在上单调递增，所以的值域为.
故选：D.
18．答案：C
解析：当时，单调递增，所以在上有，
所以要使函数的值域为R，
则需，解得.
故选：C.
19．答案：B
解析：，
因为，故A正确；
因为，
当x是有理数时，即，即，与有理数矛盾，
当x是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D正确.
故选：B.
20．答案：C
解析：设，则，
所以，
故，
故选：C.2024-2025学年北师大版单元测试：指数函数、对数函数与幂函数
一、选择题
1．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为20时，学习率衰减为0.54，则学习率衰减到以下（不含0.06）所需的训练迭代轮数至少为( )（参考数据：，）
A.9 B.12 C.437 D.481
2．( )
A. B.2 C. D.
3．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性.动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变.经过5730年，它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为( )
A.12302 B.13304 C.23004 D.24034
4．当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”.在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙.某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今( )（精确到百年，参考数据：）
A.3800年 B.4200年 C.4600年 D.5000年
5．已知，，则m的值为( )
A. B.6 C. D.
6．物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度）.我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
7．碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间t后的含量N间的关系，其中（T为半衰期）.已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）( )
A.年 B.年 C.年 D.年
8．天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”区分之，即选择某一特定的星光强度为标准，对于发出星光强度为F的星体，定义其“星等”为，并称该星体为“m等星”，已知天狼星为等星，北极星为2等星，则天狼星的星光强度大约是北极星的( )倍.（已知，）
A.3 B.13 C.23 D.33
9．设，且实数x，y，z满足，则( )
A. B. C. D.
10．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（）
A.60 B.63 C.66 D.69
11．素数也叫质数，部分素数可写成“（n为素数）”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“（n为素数）”形式的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为( )（参考数据：）
A. B. C. D.
12．已知实数a，b，c分别满足，，，那么( )
A. B. C. D.
13．我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的多少也会对人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：
室内二氧化碳浓度（单位：） 人体生理反应
不高于 空气清新，呼吸顺畅
空气浑浊，觉得昏昏欲睡
感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中
大于 可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡
《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于（即为），所以室内要经常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为，若开窗通风后二氧化碳浓度与经过时间t（单位：分钟）的关系式为，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为（参考数据：，）( )
A.10分钟 B.11分钟 C.12分钟 D.20分钟
14．若，则下列不可能成立的是( )
A. B. C. D.
15．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为( )
A.1 B. C.2 D.4
16．已知一个15位正整数，且N的30次方根仍是一个整数，则这个30次方根为（参考数据：，，）( )
A.3 B.4 C.5 D.6
17．数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式，式中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），C是数据传送速率的极限值，单位是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝为单位即（信噪比，单位为）.在信息最大速率C不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境，则信号带宽大约要提高( )
（附：）
A.10倍 B.9倍 C.2倍 D.1倍
18．已知，且，则下列不等式关系中正确的是( )
A. B. C. D.
19．若，则( ).
A. B. C. D.
20．已知，，则( )
A.3 B.1 C. D.
参考答案
1．答案：C
解析：由题中信息可得，，则，
当时，，即，解得，即，
由，可得，
所以，，
故学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为.
故选：C.
2．答案：C
解析：
.
故选：C.
3．答案：B
解析：设原始量为x，每年衰变率为a，
，
，
，
，
.
故选：B.
4．答案：C
解析：设这头大象大约生活在距今t年，则，
这头大象大约生活在距今约4600年，
故选：C.
5．答案：C
解析：，
，，
，
，即或（舍去）
故选：C.
6．答案：C
解析：因为音量大小与强度为I的声波的关系为，
所以，
所以，，
所以，
故选：C.
7．答案：C
解析：由题意知：，把数据代入得：
，故选：C.
8．答案：C
解析：设天狼星的星光强度为，北极星的星光强度为，
因为天狼星为等星，北极星为2等星，
所以，
解得，，
所以.
故选：C.
9．答案：B
解析：由，可得，则，即；
同理，，
因为，所以x，y，z均为正数，则，同理可得，，
所以，
故选：B.
10．答案：C
解析：，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
11．答案：B
解析：由题意，
又，所以，
从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为.
故选：B.
12．答案：A
解析：，，
在同一坐标系内画出函数，，，的图象.
a，b，c就是与，与，与的图象交点横坐标，
由图可知，
故选：A.
13．答案：A
解析：由题意可知，当时，，可得，则，
由，可得，
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为10分钟.
故选：A.
14．答案：D
解析：设，则有，，
当时，有；
当时，有；
当时，有.
故选：D.
15．答案：A
解析：由题意可得，，，解得.
故选：A.
16．答案：A
解析：设这个30次方根为，则，其中且，
故，，，
故，，，故.
故选：A.
17．答案：B
解析：，
，
所以，，
所以，所以，即大约提高9倍.
故选：B.
18．答案：B
解析：令，
，，，
，，，
，，，
幂函数在上单调递增，
，
，
即，
故选：B.
19．答案：C
解析：由，
得，
令，
因为函数，都是增函数，
所以函数是增函数，
由，即，
所以，
对于AB，当，时，，故AB错误；
对于CD，由，得，
所以，故C正确，D错误.
故选：C.
20．答案：D
解析：，则，
所以.
故选：D
