2024-2025学年北师大版单元测试：解三角形
一、选择题
1．如图所示，为了测量山高，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，，从C点测得.已知山高，则山高（单位：m）为( )
A. B. C. D.
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的最小角为( )
A. B. C. D.
3．如图，在中，D是边上的点，且满足，，，则( )
A. B. C. D.0
4．如图，四边形的对角线，相交于O，，，则这个四边形的面积是( )
A. B. C. D.
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.4
6．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,则( )
A. B. C. D.
7．在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则( )
A.4 B.5 C.6 D.6或
8．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高( )
A. B.
C. D.
9．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,,则的面积为( )
A. B. C. D.
10．已知中,,,,则( )
A. B. C. D.
11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.6
12．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
13．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为( )
A. B. C. D.
14．在中,若,则的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
15．已知的三边长分别为1,,,则它的最大内角的度数是( )
A.90° B.135° C.120° D.150°
16．在中,点D是AC边上靠近点C的三等分点,若,,,则( )
A. B. C. D.
17．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形：①,,;②,,.则( )
A.①只有一个解,②有两个解 B.①有两个解,②只有一个解
C.①②都只有一个解 D.①②都有两个解
18．如图所示,从热气球A上测得地面上点B的俯角为,点C的俯角为,图中各点在同一铅垂平面内,已知B,C两点间距离为,则热气球距地面的高度为( )
A. B. C. D.
19．一艘轮船从A处出发,以40海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,轮船在A处观察灯塔,其方向是东偏南,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,则B,C两点间的距离为( )
A.海里 B.海里
C.海里 D.海里
20．根据如图所示的频率分布直方图，可以估计数据的中位数，众数与平均数，那么这三个数据的60%分位数为( )
A.12.5 B.13 C.13.5 D.14
参考答案
1．答案：A
解析：在中，，为直角，则，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故选：A.
2．答案：A
解析：，的最小角为角C，则，
，.
故选：A.
3．答案：D
解析：设，则，，，易知，由余弦定理可得，解得，故，，
故选D
4．答案：C
解析：如图分别过B，D作于E，于F，则，又，
在中，，
在中，，
又四边形的面积
又，所以，
故选：C.
5．答案：B
解析：方法一：，即，
，，即
，
，选B.
方法二：由正弦定理得
显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），所以由均值得
6．答案：B
解析：由余弦定理可得.
故选：B.
7．答案：C
解析：由得，即，
又，，故，，（舍），
故选：C.
8．答案：D
解析：在中，，，
由正弦定理得，可得，
过点B作，可得，
所以.
故选：D.
9．答案：D
解析：由,得,
,解得,.
.
故选:D.
10．答案：D
解析：由余弦定理得,
即,解得（舍去）.
故选：D.
11．答案：C
解析：由余弦定理可得：，解得：，
，.
故选：C.
12．答案：D
解析：由题知,因为,所以,
即,因为,所以,,
由正弦定理得
,因为,所以,
故,因为,所以,,
故.
13．答案：B
解析：由题意有：底面，
在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，
，，，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
，
解得：.
故选：B.
14．答案：C
解析：设中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,
由正弦定理得:,即,
所以,
因为,所以A为钝角,即为钝角三角形.
故选:C.
15．答案：B
解析：因为的三边长分别为1,,,
所以边长为的边所对的角最大,其余弦值为
所以最大内角的度数是
故选:B
16．答案：C
解析：设,则,
,
由余弦定理得,
,解得,,
所以,,
.
故选:C.
17．答案：A
解析：对于①：由正弦定理可知,,
因为,所以,则①只有一个解;
对于②：由正弦定理可知,,
且,则A有两解,因此②有两个解;
故选：A.
18．答案：C
解析：在中,,所以,
在中,,所以,
因为B,C两点间距离为,
所以,解得.
故选：C.
19．答案：A
解析：如图,由题意知,
,
由正弦定理,,
则.
故选：A.
20．答案：B
解析：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，则众数是12.5.
中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线的横坐标，第一个矩形的面积是0.2，第二个矩形的面积是0.5，故将第二个矩形分成3:2即可，则中位数是13.
平均数为.
三个数由小到大排列为12.5，13，13，因为，由百分位数的定义可得60%分位数为13，
故选：B.2024-2025学年北师大版单元测试：平面向量初步
一、选择题
1．下列各式中不能化简为的是( )
A. B. C. D.
2．已知向量，，若，则( )
A.8 B. C.2 D.
3．下列命题中正确的是( )
A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量
C.若向量,同向,且,则 D.单位向量的模都相等
4．设向量,,若,则( )
A. B.0 C.6 D.
5．在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则不正确的是( )
A. B.
C. D.
6．若向量，，，则可用、表示为( )
A. B. C. D.
7．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8．如图所示，，，，，设，则( )
A. B.，
C.， D.，
9．若，则，那么下列对，的判断正确的是( )
A.与一定共线 B.与一定不共线
C.与一定垂直 D.与中至少一个为
10．若，，，则( )
A. B. C. D.
11．若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是( )
A.不可以表示平面内的所有向量
B.对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C.若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D.若存在实数，使，则
12．在中，P是边的中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
13．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于( )
A.0 B. C. D.3
14．已知空间中四点O，A，B，P，点B在直线上，且满足，则( )
A. B. C.1 D.
15．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D
16．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是( ).
A.和 B.和
C.和 D.和
17．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
18．已知向量，不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
19．若，，则的平分线上的向量可以表示为( )
A. B.
C.，由确定 D.
20．已知非零向量，不共线，且，若，则x，y满足的关系是( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：B
解析：A：，不符合题意；
B：因为，，
若，即，可得，
即点B与点Q重合，显然这不一定成立，
所以与不一定相等，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：B
2．答案：B
解析：因为，所以，解得.
3．答案：D
解析：对于A:模为0的向量叫零向量,零向量的方向是任意的,故A错误;
对于B:相等向量要求方向相同且模长相等,共线向量不一定是相等向量,故B错误;
对于C:向量不可以比较大小,故C错误;
对于D:单位向量的模为1,都相等,故D正确.
故选:D
4．答案：D
解析：向量,,若,
则,解得.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题意可得,A正确;
,故B正确;
由,,
可得,
故,故C错误,D正确;
故选:C.
6．答案：B
解析：设，又因为，，，所以，即，解得，，故.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为在中，，，，
为边上的高，所以在中，，
又，，
，
为的中点，
，
，，，
，
故选：D.
8．答案：B
解析：过点C作交AO的延长线于点D，连接BC，
因为，，所以，
在中，，，则，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，
所以，.
故选：B.
9．答案：B
解析：由平面向量基本定理知，当与不共线时，，
故选：B.
10．答案：D
解析：由，则，
所以，则.
故选：D.
11．答案：D
解析：由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；
对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，
那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；
对于C：当两个向量均为零向量时，即时，这样的λ有无数个，
或当为非零向量，而为零向量（），此时λ不存在，故C错误；
故选：D.
12．答案：C
解析：P是边的中点，
.
，
，
即.
与不共线，
且，
，
是等边三角形.
故选：C.
13．答案：C
解析：因为点D在CB的延长线上，且，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
故选：C.
14．答案：B
解析：因为A，B，P三点在同一直线上，所以，所以.
故选：B.
15．答案：A
解析：因为，，，
选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；
选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得λ不存在，故该选项错误；
选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得λ不存在，故该选项错误；
选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得λ不存在，故该选项错误；
故选：A.
16．答案：B
解析：因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，
对于A中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B中，设，可得，解得，
所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.
共线：B.
17．答案：D
解析：，是平面内的一组基底，，不共线，而，
则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.
其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.
故选：D.
18．答案：D
解析：只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
19．答案：C
解析：因为，，则在
如图，在菱形，设，，的角平分线为，
所以，
故的平分线上的向量可以表示为，其中由确定，
故选：C.
20．答案：A
解析：由得，即，又，故，消去λ后得.
故选A.2024-2025学年北师大版单元测试：三角函数
一、选择题
1．若为的一个内角，且，则( )
A. B. C. D.
2．已知,且,则( )
A. B.
C. D.
3．已知,且,则( )
A. B. C. D.
4．为了得到的图象,只要将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
5．已知，则等于( )
A. B.2 C.0 D.
6．在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S，则此时P到铁轨上表面的距离为( )
A. B. C. D.
7．若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为( )
A.
B.
C.
D.
8．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
9．将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是( )
A. B. C. D.
10．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）( )
A.1.012m B.1.768m C.2.043m D.2.945m
11．终边落在直线上的角的集合为( )
A. B.
C. D.
12．折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时须展开，成扇形，聚头散尾.如图，某折扇的扇骨长度，扇面长度，已知折扇展开所对圆心角的弧度为，则扇面的面积为( )
A. B. C. D.
13．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程.已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为( )
A. B. C. D.
14．将化成的形式是( )
A. B. C. D.
15．下列各角中，与角是同一象限角的是( )
A. B. C. D.
16．如果角与角具有相同的终边，角与角具有相同的终边，那么与之间的关系是( )
A. B.
C. D.
17．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 B. C. D.
18．是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
19．下列各角中,与终边相同的角为( )
A. B. C. D.
20．的终边在第______象限( )
A.一 B.二 C.三 D.四
参考答案
1．答案：D
解析：因为，，
所以，
所以，，.
，
所以.
故选：D
2．答案：A
解析：,则,则
,A对.,B错.
,C错,,D错,
故选：A.
3．答案：A
解析：因为,所以,
所以..则.因为,所以
故.故选:A.
4．答案：A
解析：为了得到的图象,只要将函数的图象向右平移个单位长度得到.故选:A.
5．答案：D
解析：因为，
所以.
故选：D.
6．答案：B
解析：当列车行驶的距离为S时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为S，
车轮转过的角度为，P点的初始位置为，设车轮的中心为O，
当时，作，垂足为Q，如下图所示，
则，P到铁轨上表面的距离为
当时，作，，垂足为N，如下图所示，
则，
P到铁轨上表面的距离为
当在其它范围均可得到同一个式子，故选B
7．答案：C
解析：当角的终边与直线重合时，角的终边与函数的图象无交点.又因为角的终边为射线，
所以，.
故选：C.
8．答案：A
解析：，，
根据弧长公式可得：.
故选：A.
9．答案：B
解析：将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的，
分针转过的弧度为.
故选：B.
10．答案：B
解析：如图所示，由题意知“弓”所在的弧的长，其所对圆心角，
则两手之间的距离.
故选：B.
11．答案：B
解析：易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，.所以角的集合为.
故选：B.
12．答案：B
解析：由题意可知，扇面的面积为.
故选：B.
13．答案：C
解析：因为昆仑站距离地球南极点约，地球每自转，
所以由弧长公式得：，
故选：C.
14．答案：D
解析：因为，，，所以可化成.
故选：D.
15．答案：B
解析：角是第二象限角，角是第三象限角，角是第二象限角，
角是第三象限角，角是第四象限角.
故选：B.
16．答案：D
解析：利用终边相同的角的关系，得，.
则与x有关，故AC错误；
又.因为m，n是整数，所以也是整数，用表示，所以.
故选：D.
17．答案：C
解析：2弧度的圆心角所对的弦长为2，半径，所求弧长为.
故选：C.
18．答案：B
解析：因为角的终边落在第二象限，所以该角为第二象限角.
故选：B.
19．答案：A
解析：对于A项,因,故A项正确;
对于B项,因不是的整倍数,故B项错误;
对于C项,因不是的整倍数,故C项错误;
对于D项,因不是的整倍数,故D项错误.
故选:A.
20．答案：B
解析：与终边相同的角可表示为,．
当时,．易知终边在第二象限．
故选：B.2024-2025学年北师大版单元测试：三角函数的性质与图象
一、选择题
1．已知,若存在常数,使得为奇函数,则的可能值为( )
A. B. C. D.
2．设函数,若对任意的实数x都成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
3．为了得到函数的图象,只需把余弦曲线上所有的点( )
A.横坐标伸长到原来的5倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的5倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
4．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
5．要得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
6．函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7．将函数的图像向上平移1个单位,得到的图像,若,则的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
9．若函数在上单调,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
10．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11．已知函数的部分图像如图所示，则( )
A. B. C.0 D.
12．函数（,）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为,且点是函数图象的对称中心,则函数在上的单调增区间为( )
A. B. C. D.
13．已知函数在区间上的值域为，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
14．已知函数在上单调递增,在上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
15．已知函数的一段图象过点,如图所示,则函数( )
A. B.
C. D.
16．若函数为偶函数,则实数( )
A.1 B.0 C. D.2
17．已知函数与,则下列说法错误的是( )
A.与存在相同的对称轴
B.与存在相同的对称中心
C.与的值域相同
D.与在上有相同的单调性
18．函数在R上是( )
A.偶函数、增函数 B.奇函数、减函数
C.偶函数、减函数 D.奇函数、增函数
19．如图，A，B和C，D分别是函数图象的两个最低点和两个最高点，若四边形的面积为，且在区间上是单调函数，则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
20．已知函数的部分图象如图所示,图象的一个最高点为M,图象与x轴的一个交点为,且点M,N之间的距离为5,则( )
A. B. C. D.2
参考答案
1．答案：A
解析：函数的定义域为R,由为奇函数,
得是奇函数,
则必有函数是偶函数,函数是奇函数,
此时,,,
因此,,当时,,
不存在整数k,使得值为BCD,
当时,是奇函数.
故选:A
2．答案：B
解析：由对任意的实数x都成立,得在处取得最大值,
则,,解得,,
所以的最小值是.
故选：B.
3．答案：B
解析：,最小正周期变为原来的,
所以横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.故A,C,D错误.故选:B.
4．答案：C
解析：从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C.
5．答案：A
解析：，，，所以的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
6．答案：B
解析：根据正切函数的性质可知,
的最小正周期
.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题知,,
因为,所以,
因为的最大值为1,所以,
所以的最小值即的最小值周期,
所以.
故选：D.
8．答案：C
解析：的图象先向左平移可得，
纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得.
故选：C.
9．答案：D
解析：,则,
函数在上单调,
所以,解得：,
所以的最大值为.
故选：D.
10．答案：A
解析：函数的最小正周期，
所以，即.
当时，，
依题意知，，
解得，又
当时成立，.
故选：A.
11．答案：B
解析：由图可得，，，所以，
所以，因为在函数的图像上，
可得，解得，
因为，所以，，
所以
.
故选：B.
12．答案：A
解析：因为（,）图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为,
所以,所以,所以,
则,
因为点是函数图象的对称中心,
所以,
所以,,故,,
又因,所以,
所以,
令,,
则,,
因为,所以,
所以函数在上的单调增区间为.
故选：A.
13．答案：A
解析：时，，
由函数在区间上的值域为，
故函数在区间上的值域为，
则有，即.
故选：A.
14．答案：A
解析：当时,.
因为在上单调递增,所以,解得.
当时,,因为,所以.
因为在上单调递减,所以且,解得,又,所以的取值范围是.
15．答案：D
解析：由图知,,则.
由图知,在取得最大值,且图象经过,故,
所以,,故,,
又因,所以,
函数又经过,故,得.
所以函数的表达式为.
故选:D.
16．答案：D
解析：函数的定义域为R,由为偶函数,得,,
则,整理得,而不恒为0,
于是,即,解得,
所以实数.
故选:D
17．答案：B
解析：对于A,令,,得的对称轴为,,
令,,得的对称轴为,,显然与有相同的对称轴,A正确;
对于,令,,得的对称中心为,,
令,,得的对称中心为,,
由得,
显然不存在整数,使成立,故与没有相同的对称中心,B错误;
对于C,与的值域显然均为,C正确;
对于D,当时
由在上递增,
由在上递减,
由在上递增,
由在上递减,
与均在上单调递增,在上单调递减,D正确.
故选：B.
18．答案：D
解析：，
故为奇函数.又恒成立，因此在R上为单调递增函数.
故选：D.
19．答案：C
解析：由题意，得四边形为平行四边形，且，
且与之间的距离为4，则，解得，
则，
令，，
解得，，
所以当时，，
即函数在上单调递增，
又，所以，
则，即a的最大值为，
故选：C.
20．答案：D
解析：函数的最大值为4.设的最小正周期为T,
依题意,得,解得,
所以,解得,所以,
又点在函数的图象上,所以,
结合图象,知,解得,所以,
所以.
故选：D.2024-2025学年北师大版单元测试：向量的数量积与角恒等变换
一、选择题
1．已知中，，，AD为BC上的高，垂足为D，点E为AB上一点，且，则( )
A. B. C. D.
2．已知，则( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,,若,则( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
4．的值为( )
A. B. C.3 D.
5．已知平面向量,,若,则( )
A. B. C.2 D.
6．已知,,则( )
A. B. C. D.
7．已知向量，.若a与b反向共线，则的值为( )
A.0 B.48 C. D.
8．如图，P是函数图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F.则的值为( )
A.2 B. C.1 D.
9．已知,则( )
A. B. C. D.
10．已知向量，满足，.若，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11．若，，则( )
A. B. C. D.
12．已知是边长为4的等边三角形,AB为圆M的直径,若点P为圆M上一动点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
13．如果一架飞机向西飞行400km，再向东飞行500km，记飞机飞行的路程为，位移为，那么( )
A.800km B.700km C.600km D.500km
14．窗户,在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口,用以使光线或空气进入室内.如图1,这是一个外框为正八边形,中间是一个正方形的窗户,其中正方形和正八边形的中心重合,正方形的上 下边与正八边形的上 下边平行,边长都是4.如图2,A,B是中间正方形的两个相邻的顶点,P是外框正八边形上的一点,则的最大值是( )
A. B. C. D.
15．已知向量,,则( )
A. B. C. D.
16．已知,若,则( )
A. B. C. D.
17．已知两个单位向量和的夹角为,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
18．已知，，则( )
A. B. C. D.
19．已知向量,,且,则( )
A. B.2 C. D.
20．已知向量，，且，则向量，的夹角为( )
A.0 B. C. D.
参考答案
1．答案：A
解析：如图所示，
由题意可知，，，，故，
因为，
所以，
则
.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题干得
所以，
故选：B.
3．答案：D
解析：因为向量,,所以,
因为,所以,可得,
故选：D.
4．答案：B
解析：
.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为,所以,,
则,所以,
故选：D.
6．答案：B
解析：因为,
所以,则,
故选：B.
7．答案：C
解析：由题意得，解得，又a与b反向共线，故，此时，故.故选C.
8．答案：C
解析：P的坐标为，且，，
N的坐标为，M点的坐标为，
，
在直角三角形中，(，三角形是等腰直角三角形)，
，
F点的坐标为，，
同理可得出E点的坐标为，
，，
，即.
故选：C
9．答案：A
解析：,,则 ,
10．答案：A
解析：，所以，故选A.
11．答案：D
解析：因为，化简可得，即，
且，则.
故选：D
12．答案：D
解析：如图所示
由图像可知,与夹角的范围为,
所以,,
所以.
故选：D.
13．答案：A
解析：如果一架飞机向西飞行400km，再向东飞行500km，记飞机飞行的路程为，，所以.故选A.
14．答案：A
解析：记正八边形右下角的两个顶点分别为C,D,连接,,
由题意易得是等腰直角三角形,,则,
不妨设,由于题目要求的最大值,故只考虑的情况,
过P作,垂足为E,则,又,
所以,
显然,当点P与点C重合时,取得最大值,
所以的最大值为.
故选：A.
15．答案：A
解析：由题意,得,所以,故选A.
16．答案：C
解析：,
,,
,或,,
又,,
,
故选:C.
17．答案：C
解析：因为,所以向量在向量上的投影向量为.
故选:C
18．答案：A
解析：因为，又，
则可得.
所以，
故选：A.
19．答案：D
解析：由,故,故.
故选:D.
20．答案：C
解析：由，得，
又，，整理得：，
因为，所以，的夹角为，
故选：C.2024-2025学年北师大版单元测试：正弦定理与余弦定理
一、选择题
1．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,,则( )
A.或 B.或 C. D.
2．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角( )
A. B. C. D.
3．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且若,则的形状是( )
A.等腰且非等边三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4．在中，已知，且满足，则的面积为( )
A.1 B.2 C. D.
5．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的形状是______三角形( )
A.等腰 B.直角 C.等腰直角 D.等腰或直角
6．的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,,则的面积为( )
A. B. C.或 D.
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
8．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，，( )
A. B.或 C. D.或
9．在中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若，，，则边( )
A. B.或 C.或 D.
10．在中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B. C. D.
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则此三角形( )
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定
12．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于( )
A. B.或 C. D.
13．在中，若，，，则的最大角与最小角之和是( )
A. B. C. D.
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
15．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形.根据这些信息，则( )
A. B. C. D.
16．如图,在中,D是BC的中点,E是AC上的点,,,,,则( )
A. B. C. D.
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则( )
A. B.2 C. D.3
18．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,则( )
A. B. C. D.
19．已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则( )
A. B. C. D.
20．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则B的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：A
解析：由正弦定理可得,即,
且,则或.
故选：A.
2．答案：A
解析：由余弦定理可得,
,．
故选：A．
3．答案：C
解析： ,所以,又, ,
, ,
,, ,从而,为等边三角形,
故选：C．
4．答案：D
解析：在中，已知，由正弦定理得，即，，即.，的面积为.故选D.
5．答案：D
解析：由,
由余弦定理得,
化简得,
当时,即,则为直角三角形;
当时,得,则为等腰三角形;
综上：为等腰或直角三角形,故D正确.
故选：D.
6．答案：C
解析：由正弦定理得,即,解得,
是三角形内角,或
当时,,;
当时,.
故选:C.
7．答案：B
解析：由及，得，所以，即，于是有.因为，所以，所以外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.故选B.
8．答案：A
解析：由正弦定理有，即，解得，
注意到，由大边对大角有，所以
故选：A.
9．答案：C
解析：因为，，，由余弦定理可得，
即，即，解得或.
故选：C.
10．答案：C
解析：由余弦定理得，
因为，所以.
故选：C.
11．答案：C
解析：由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选C.
12．答案：A
解析：由正弦定理可得
由，，可得，则，故，
又，则
故选：A
13．答案：B
解析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边CA所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，
由余弦定理可得，，
由θ为三角形内角，，
则最大角与最小角的和是.
故选：B.
14．答案：B
解析：设外接圆的半径为R，则，解得，
所以外接圆的面积为.
故选：B.
15．答案：B
解析：在中，，，.
设，，
则.
故选：B
16．答案：D
解析：设,,在三角形ABC与三角形ABD中,
解得:
作DC的四等分点,且,由题意知,,,
又因为,所以,,
又,所以,
在三角形ABD与三角形EDF中,,
化简得:,代入,解得:,
从而解得:
故选:D.
17．答案：C
解析：由余弦定理得，又，所以，
又，故，
故选：C
18．答案：A
解析：由正弦定理得,,
故选：A.
19．答案：D
解析：由,由正弦定理得,
所以,所以,
因为,所以可得,
所以,所以,
因为,所以.
故选：D.
20．答案：D
解析：因为,
由正弦定理得,得,
所以,即,
因为,所以,
所以,或,所以,或（舍）,
所以,所以.
故选：D.
