2024-2025学年北师大版单元测试：复数
一、选择题
1．若复数z满足,则( )
A. B. C. D.
2．已知复数，则( )
A. B.2 C. D.5
3．已知复数z满足,则z的虚部为( )
A. B. C. D.
4．已知i是虚数单位，若，则等于( )
A.1 B. C. D.
5．复数的虚部为( )
A.3 B.2 C.-2 D.
6．复数的虚部为( )
A. B. C.2i D.2
7．已知，则( )
A. B. C. D.
8．已知复数( )
A. B. C. D.
9．已知复数z满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
10．若复数z满足（i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11．设复数z满足,则( )
A. B. C. D.
12．已知复数z满足,则的虚部为( )
A. B. C. D.
13．若复数（i为虚数单位）,则( )
A. B. C. D.
14．已知（i为虚数单位），则z的虚部是( )
A.iB.-iB.-i C.1 D.-1
15．设复数，则( )
A. B. C. D.
16．复数,则z的虚部为( ).
A.3 B. C.i D.
17．已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
18．已知复数，其中i为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
19．已知复数z满足，则( )
A.3 B.5 C.9 D.25
20．i是虚数单位,复数在复平面内的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以.
2．答案：A
解析：由，得，所以.
故选：A
3．答案：A
解析：复数z满足,则,
所以,z的虚部为.
故选:A
4．答案：D
解析：因为，所以，则，所以.故选D.
5．答案：C
解析：的虚部为.
故选：C.
6．答案：D
解析：，故该复数的虚部为2.
故选：D.
7．答案：B
解析：因为，所以，
所以，所以.
故选：B
8．答案：A
解析：.
故选：A.
9．答案：C
解析：由，得，
所以，其虚部为.
故选：C.
10．答案：D
解析：设,则,
则,即,所以,,
解得,,故,对应的点在第四象限.
故选：D.
11．答案：C
解析：因为,所以,
,
所以,,故C正确.
故选：C.
12．答案：A
解析：,,
,故复数的虚部为.
13．答案：B
解析： ,
故选：B.
14．答案：C
解析：因为复数，所以z的虚部是1.故选：C.
15．答案：A
解析：，，所以.
16．答案：B
解析：复数,
所以z的虚部为
故选:B.
17．答案：A
解析：，复数z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限，故选A.
18．答案：A
解析：，则.
19．答案：B
解析：由已知有，所以.故选B.
20．答案：A
解析：位于第一象限,故选A.2024-2025学年北师大版单元测试：立体几何初步
一、选择题
1．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为最尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为米,侧棱长为5米,则其体积为_________立方米( )
A. B.24 C. D.72
2．已知水平放置的的直观图如图所示,,,则边AB上的中线的实际长度为( )
A.4 B. C. D.5
3．若圆台的高是,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,母线与下底面所成角的大小为,则这个圆台的侧面积是( )
A. B. C. D.
4．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形,已知,,则四边形ABCD的面积为( )
A. B. C. D.
5．某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6．如图,圆锥底面半径为3,母线,,一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达B点,最短路线长度为( )
A. B.16 C. D.12
7．已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等,则正三棱柱与圆柱的高的比值为( )
A. B. C. D.
8．图中的花盆可视作两个圆台的组合体，其上半部分的圆台上 下底面直径分别为30cm和26cm，下半部分的圆台上 下底面直径分别为24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，若上半部分的圆台的高为8cm，则该花盆的总高度为( )
A.16cm B.18cm C.20cm D.24cm
9．若正三棱柱的所有棱长均为a,且其侧面积为12,则此三棱柱外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
10．如图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是( )
A. B. C. D.
11．如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱.若侧面水平放置时,液面恰好过,,,的四等分点处,,当底面水平放置时,液面高为( )
A.3 B. C. D.
12．在正三棱台中,已知,,侧棱的长为2,则此正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
13．已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
14．已知H是球O的直径上一点,,平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,M为上的一点,且,过点M作球O的截面,则所得的截面面积最小的圆的半径为( )
A. B. C. D.
15．某圆锥的侧面积为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.4 C. D.
16．南北朝时期数学家，天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：幂势既同，则积不容异，其中“幂”指截面积，“势”指几何体的高.意思是说：两个等高几何体，若在每一等高处截面积都相等，则两个几何体体积相等，已知某不规则几何体与一个由正方体和三棱锥组成的几何体满足“幂势同”，组合体的三视图如图所示，则该不规则几何体的体积为( )
A. B.10 C.12 D.
17．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角,半径为4的扇形,则此圆锥内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
18．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是( )
A.平面与平面 B.平面与平面
C.平面与平面 D.平面与平面
19．如图：正三棱锥中，，侧棱，BD平行于过点C的截面，则截面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
20．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知,正四棱锥的高为,
所以其体积为.
2．答案：D
解析：的实际图形应是直角三角形,两条直角边长分别是6和8,斜边AB的长度为10,
边AB上的中线的实际长度为5.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意, 可作该圆台的轴截面,如图所示:
则圆台的高,
上底面半径,下底面半径,即,母线,即,
在 中,,，，
易知在正方形中,,则,即,
综上,,，，圆台的侧面积.
故选A.
4．答案：D
解析：因为,,取的中点为坐标原点,以为建立坐标系如图,
因斜二测直观图为矩形,,,
则,
可得原图ABCD中,,
,
四边形ABCD的面积为.
故选:D.
5．答案：A
解析：设圆台的母线长为l，高为h，
因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线，
因此圆台的高为，
所以圆台的体积为.
故选：A
6．答案：C
解析：把圆锥侧面沿母线剪开,展在同一平面内得扇形,连接,如图,
令扇形圆心角大小为,则,解得,
在中,,则,
所以一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达B点,最短路线长度为.
故选：C.
7．答案：D
解析：设正三棱柱的底面边长为a,高为h,
等边的面积为,
则正三棱柱的体积为,
设的外接圆半径为R,则,解得,
设圆柱的高为m,则圆柱的体积,
由题意得,解得.故选D.
8．答案：C
解析：截取组合体的轴截面，作，，如下图所示：
易知，即为上半部分的圆台的高，所以，
又因为两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角均相等，所以；
可得，
易知，所以.
因此该花盆的总高度为.
故选：C
9．答案：B
解析：由题意可得,正棱柱的底面是边长和高都等于a的等边三角形,侧面积为,
, ,
取三棱柱的两底面中心O,,连结,
取的中点D,则D为三棱柱外接球的球心,
连结,则为三棱柱外接球的半径.
是边长为2的正三角形,O是的中心,
.
又
.
三棱柱外接球的表面积.
故选：B.
10．答案：B
解析：如图,设上底面的半径为r,下底面的半径为R,高为h,母线长为l,
则,,解得,,
又,,
设上底面面积为,下底面面积为,
所以圆台的体积.
故选：B.
11．答案：B
解析：设当底面水平放置时,液面高为h,
依题意,侧面水平放置时,液面恰好过,,,的四等分点处,,
所以水的体积,
解得.
故选：B.
12．答案：C
解析：正三棱台中,已知,,
所以的面积为,的面积为,
设O,分别是,的中心,
设D,分别是,的中点,
,O,D三点共线,,,三点共线,
,,
,,
,
过D作,垂足为E,则,
,
三棱台的高为,
三棱台的体积为.
故选：C.
13．答案：C
解析：由题意可知该球为圆柱的外切球,所以球心为圆柱的中心,设球半径为r,
则,故该球的表面积为.
故选：C.
14．答案：C
解析：如图,设截得的截面圆的半径为r,球O的半径为R,
因为,
所以.由勾股定理,得,由题意得,,
所以,解得,
此时过点M作球O的截面,若要所得的截面面积最小,只需所求截面圆的半径最小.
设球心O到所求截面的距离为d,所求截面的半径为,则,
所以只需球心O到所求截面的距离d最大即可,
而当且仅当与所求截面垂直时,球心O到所求截面的距离d最大,
即,所以.
故选：C.
15．答案：D
解析：设圆锥的母线长为l,底面半径为r,即侧面展开图的半径为l,侧面展开图的弧长为.
又圆锥的底面周长为,所以,即圆锥的母线长.
所以圆锥的侧面积为,
解得,,
故选:D
16．答案：A
解析：由三视图还原得该几何体为一个正方体与一个三棱锥的组合体，
由题意可得，
.
故选：A.
17．答案：A
解析：由题意可知,圆锥的母线,底面周长,所以圆锥的底面半径,
根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如下：
根据圆锥和球的对称性可知,球的截面为圆O,也即为等腰的内切圆,
即,,,,
在中,,由,,则,
在中,,即,
可得,解得,
所以内切球的表面积.
故选：A.
18．答案：A
解析：如图，正方体，，，
所以四边形是平行四边形，，平面，
面，所以平面，同理平面.
因为，，平面，
所以平面平面.
故选：A.
19．答案：D
解析：把正三棱锥的侧面展开，
两点间的连接线即是截面周长的最小值.
正三棱锥中，，所以，，
，
截面周长最小值是.
故选：D.
20．答案：A
解析：由题意可得侧面展开图的边长为，所以侧面展开图的面积为，故这个圆柱的侧面积是。故选：A
