(共16张PPT)
函数的单调性
数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
—— 华罗庚
从左至右图象呈什么趋势.
上升
x
y
y=x+1
观察函数图象，指出其变化趋势.
O
1
1
情境一
x
y
x
y
y=x2
下降
局部上升或下降
在该区间内
当x的增大时，函数值y反而减小
图象在某一区间内呈下降趋势；
在该区间内
当x的增大时，函数值y也增大
图象在某一区间内呈上升趋势；
函数的这 种性质称为函数的单调性。
如图为某地区一天24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：
问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言来刻画[4,14]内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
t1
t2
f(t1)
f(t2)
情境二
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
数学建构：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数,I称为y＝f(x)的单调增区间．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数,I称为y＝f(x)的单调减区间．
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
1、函数单调性是对于定义域内的某个子区间而言的是函数的局部性质
2、理解函数单调性的时候注意x1、x2是在同一个区间上任意取的两个实数，具有任意性。
注意：
判断1：函数f(x)= x2 在
是单调增函数；
x
y
o
判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上是增函数；
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
变式：试讨论 在 和 上的单调性？
数学应用
x
y
变式2：讨论 的单调性
变式1：讨论 的单调性
x
y
y=-x2+2
1
-1
1
2
2
-1
-2
-2
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
注：区间端点处若有定义写开写闭均可.
单调递增区间为
单调递减区间为
练习:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
解：
y＝f（x）的单调区间有
[1，3），[3，5].
其中在[－5，－3）， [1，3）上
是减函数，
在[－3，1）， [3，5）上是增函数.
x
y
o
3
1
－3
5
－5
[－5，－3），[－3，1）
证明：
（取值）
（判号）
（下结论）
例2 求证:函数 在区间
上是单调增函数.
（作差变形）
证明函数单调性的步骤
第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x1第二步：作差变形.将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
第三步：判号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。
第四步：下结论.根据定义作出结论。
取值
作差变形
判号
下结论
（1）.必须在同一单调区间上;
（2）.必须是任意的,不能用定值代替;
（3）.必须设定它们的大小关系后,比较函数值的大小才有意义.
1.说出函数 的单调增区间并证明．
证：在区间[－1，＋∞）上任意取两个值 ，且 ，
∴
单调递增区间为[－1，＋∞）
∴
即
∴
∵
则
练 习
解：函数单调增区间为[-1,+∞)
2.若 在 上是增函数,
则k的取值范围为_______
3.如果函数 在区间
上是减函数,那么实数a的取值范围是________
课堂小结
设量
判断差符号
作差变形
下结论
1.两个定义：增函数、减函数的定义；
②(定义法)证明函数单调性，步骤:
①图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右
减函数的图象从左到右
上升
下降
3.一个数学思想：数形结合
2.两种方法
