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函数的单调性与最值
知 识 梳 理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数
f(x1)
＜f(x2)
f(x1)
＞f(x2)
下降的
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间I上是 或 ，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．
增函数
减函数
[感悟·提升]
1．一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．
2．两个防范 一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；
二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).
规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．
(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
答案 (－∞，－1)
规律方法 解决这类问题的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
答案 (1)③ (2)④
1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．
[答案] (1,8)
[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．
[答案] [4,8)
[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．
