12.2三角形全等的判定同步练习卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 12.2三角形全等的判定同步练习卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 604.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-09 14:23:56 | ||
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文档简介
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12.2三角形全等的判定同步练习卷-数学八年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
2．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA
3．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE
4．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD B．BC＝AD，AC＝BD
C．AC＝BD，∠CAB＝∠DBA D．BC＝AD，∠CAB＝∠DBA
5．已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
6．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，若添加一个条件后Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．∠BAC＝∠EDF B．∠BCA＝∠F C．BC∥EF D．AD＝CF
7．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
8．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
二．填空题（共6小题）
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB＝90°，根据“HL”添加条件 可得△ABD≌△CDB．
10．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数为 °．
11．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，以AB为边向外作等腰Rt△ABD，则CD＝ ．
12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 ．
13．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
14．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
三．解答题（共9小题）
15．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．
16．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
17．放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
18．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
19．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE．求证：△BAD≌△CAE．
20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
21．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
22．如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AB∥CD．
23．如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接AE、BD且AC∥DF，AC＝DF，∠ABC＝∠DEF．
（1）证明：△ABC≌△DEF；
（2）说明AE、BD的关系．
12.2三角形全等的判定同步练习卷-数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“ASA”即可画出一个与原来完全样的三角形．
【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是ASA．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
2．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
4．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD B．BC＝AD，AC＝BD
C．AC＝BD，∠CAB＝∠DBA D．BC＝AD，∠CAB＝∠DBA
【分析】根据图形可得公共边AB＝AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
【解答】解：根据图形可得公共边：AB＝AB，
A、BC＝AD，∠ABC＝∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
B、BC＝AD，AC＝BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
C、AC＝BD，∠CAB＝∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
D、BC＝AD，∠CAB＝∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．
【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠1+∠A＝90°，
∴∠A＝∠2，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故B、C选项正确；
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
故A选项正确；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∠1+∠2＝90°，
但∠1不一定等于∠2，
故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
6．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，若添加一个条件后Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．∠BAC＝∠EDF B．∠BCA＝∠F C．BC∥EF D．AD＝CF
【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴当添加AD＝CF时，
得到AD+CD＝CF+CD，
即AC＝DF，
根据“AAS”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．
7．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
8．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB＝90°，根据“HL”添加条件 AD＝BC 可得△ABD≌△CDB．
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解答．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB＝90°．
要用“HL”判定△ABD≌△CDB，由于BD是公共边，则需要斜边对应相等，
∴需添加条件AD＝BC．
故答案为：AD＝BC．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
10．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数为 110 °．
【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE＝∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．
【解答】解：∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠D，
在△ABE和△FDC中，
，
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴∠E＝∠FCD＝30°
∴∠DBE＝∠E+∠A＝30°+80°＝110°．
故答案为：110．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
11．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，以AB为边向外作等腰Rt△ABD，则CD＝ 2或3或 ．
【分析】分类讨论（1）AB＝BD，（2）AB＝AD，（3）AD＝BD，分别计算CD的值，即可解题．
【解答】解：（1）作出图形，作DE⊥BE，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠CAB＝∠DBE，
在△BED和△ACB中，
，
∴△BED≌△ACB（AAS），
∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，
∴CD＝＝2；
（2）作出图形，作DE⊥AE，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠ABC＝∠DAE，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB，（AAS）
∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，
∴CD＝＝2；
（3）作出图形，作DE⊥AC，DF⊥CB延长线于F，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF，
∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．
∴CE＝3，
∴CD＝3．
故答案为：2或3或2
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BED≌△ACB、△DEA≌△ACB和△ADE≌△BDF是解题的关键．
12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 （1，4） ．
【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝4，
∴则B点的坐标是（1，4），
故答案为：（1，4）．
【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形．
13．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 BF＝CE（答案不唯一） （只需写一个，不添加辅助线）；
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加BF＝CE，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：BF＝CE（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 5 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
【分析】分两种情况考虑：当△APC≌△BQP时与当△APC≌△BPQ时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【解答】解：由题意可知：PB＝t m，AP＝（20﹣t）m，BQ＝3t m，
①当△APC≌△BQP时，
AP＝BQ，即：20﹣t＝3t，
解得：t＝5，
此时：AC＝BP＝5m，符合题意；
②当△APC≌△BPQ时，
AP＝BP，即：20﹣t＝t，
解得：t＝10，
此时AC＝BQ＝30m，
∵MA＝6＜30，
故t＝10不符合题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法以及分类讨论是解本题的关键．
三．解答题（共9小题）
15．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．
【分析】延长AE，BC交于点F，根据AAS证明△ADE与△FCE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：延长AE，BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，
∵点E是DC的中点，
∴ED＝CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ADE≌△FCE．
16．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD即可解决问题．
【解答】解：结论正确．
证明如下：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，
即AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，
∴结论正确．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，比较简单．
18．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
【分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE．求证：△BAD≌△CAE．
【分析】先证明∠BAD＝∠CAE，再利用SAS即可证明△BAD≌△CAE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝＝＝12，
即△DCE的面积是12．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出△ACD≌△BEC需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
22．如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AB∥CD．
【分析】（1）由AF＝CE可得AE＝CF，利用HL可证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由HL证明三角形全等是解决问题的关键．
23．如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接AE、BD且AC∥DF，AC＝DF，∠ABC＝∠DEF．
（1）证明：△ABC≌△DEF；
（2）说明AE、BD的关系．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，利用AAS即可证明△ABC≌△DEF；
（2）利用SAS证明△ABE≌△DEB，根据全等三角形的性质及平行线的判定即可得解．
【解答】解：（1）AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DEF，
在△ABE和△DEB中，
，
∴△ABE≌△DEB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEB＝∠DBE，
∴AE∥BD，
即AE＝BD，AE∥BD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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12.2三角形全等的判定同步练习卷-数学八年级上册人教版
一．选择题（共8小题）
1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
2．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA
3．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE
4．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD B．BC＝AD，AC＝BD
C．AC＝BD，∠CAB＝∠DBA D．BC＝AD，∠CAB＝∠DBA
5．已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
6．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，若添加一个条件后Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．∠BAC＝∠EDF B．∠BCA＝∠F C．BC∥EF D．AD＝CF
7．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
8．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
二．填空题（共6小题）
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB＝90°，根据“HL”添加条件 可得△ABD≌△CDB．
10．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数为 °．
11．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，以AB为边向外作等腰Rt△ABD，则CD＝ ．
12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 ．
13．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
14．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
三．解答题（共9小题）
15．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．
16．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
17．放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
18．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
19．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE．求证：△BAD≌△CAE．
20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
21．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
22．如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AB∥CD．
23．如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接AE、BD且AC∥DF，AC＝DF，∠ABC＝∠DEF．
（1）证明：△ABC≌△DEF；
（2）说明AE、BD的关系．
12.2三角形全等的判定同步练习卷-数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“ASA”即可画出一个与原来完全样的三角形．
【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是ASA．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
2．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
4．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD B．BC＝AD，AC＝BD
C．AC＝BD，∠CAB＝∠DBA D．BC＝AD，∠CAB＝∠DBA
【分析】根据图形可得公共边AB＝AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
【解答】解：根据图形可得公共边：AB＝AB，
A、BC＝AD，∠ABC＝∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
B、BC＝AD，AC＝BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
C、AC＝BD，∠CAB＝∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
D、BC＝AD，∠CAB＝∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．
【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠1+∠A＝90°，
∴∠A＝∠2，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故B、C选项正确；
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
故A选项正确；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∠1+∠2＝90°，
但∠1不一定等于∠2，
故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
6．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，若添加一个条件后Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．∠BAC＝∠EDF B．∠BCA＝∠F C．BC∥EF D．AD＝CF
【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴当添加AD＝CF时，
得到AD+CD＝CF+CD，
即AC＝DF，
根据“AAS”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．
7．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
8．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB＝90°，根据“HL”添加条件 AD＝BC 可得△ABD≌△CDB．
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解答．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB＝90°．
要用“HL”判定△ABD≌△CDB，由于BD是公共边，则需要斜边对应相等，
∴需添加条件AD＝BC．
故答案为：AD＝BC．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
10．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数为 110 °．
【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE＝∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．
【解答】解：∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠D，
在△ABE和△FDC中，
，
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴∠E＝∠FCD＝30°
∴∠DBE＝∠E+∠A＝30°+80°＝110°．
故答案为：110．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
11．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，以AB为边向外作等腰Rt△ABD，则CD＝ 2或3或 ．
【分析】分类讨论（1）AB＝BD，（2）AB＝AD，（3）AD＝BD，分别计算CD的值，即可解题．
【解答】解：（1）作出图形，作DE⊥BE，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠CAB＝∠DBE，
在△BED和△ACB中，
，
∴△BED≌△ACB（AAS），
∴BE＝AC＝4，DE＝BC＝2，
∴CD＝＝2；
（2）作出图形，作DE⊥AE，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠ABC＝∠DAE，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB，（AAS）
∴DE＝AC＝4，AE＝BC＝2，
∴CD＝＝2；
（3）作出图形，作DE⊥AC，DF⊥CB延长线于F，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF，
∴AC+BC＝AE+CE+CF﹣BF＝2CE．
∴CE＝3，
∴CD＝3．
故答案为：2或3或2
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BED≌△ACB、△DEA≌△ACB和△ADE≌△BDF是解题的关键．
12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是 （1，4） ．
【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝4，
∴则B点的坐标是（1，4），
故答案为：（1，4）．
【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形．
13．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．添加的条件可以是 BF＝CE（答案不唯一） （只需写一个，不添加辅助线）；
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加BF＝CE，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：BF＝CE（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 5 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
【分析】分两种情况考虑：当△APC≌△BQP时与当△APC≌△BPQ时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【解答】解：由题意可知：PB＝t m，AP＝（20﹣t）m，BQ＝3t m，
①当△APC≌△BQP时，
AP＝BQ，即：20﹣t＝3t，
解得：t＝5，
此时：AC＝BP＝5m，符合题意；
②当△APC≌△BPQ时，
AP＝BP，即：20﹣t＝t，
解得：t＝10，
此时AC＝BQ＝30m，
∵MA＝6＜30，
故t＝10不符合题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法以及分类讨论是解本题的关键．
三．解答题（共9小题）
15．如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．
【分析】延长AE，BC交于点F，根据AAS证明△ADE与△FCE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：延长AE，BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，
∵点E是DC的中点，
∴ED＝CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ADE≌△FCE．
16．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD即可解决问题．
【解答】解：结论正确．
证明如下：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，
即AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，
∴结论正确．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，比较简单．
18．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．
【分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE．求证：△BAD≌△CAE．
【分析】先证明∠BAD＝∠CAE，再利用SAS即可证明△BAD≌△CAE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝＝＝12，
即△DCE的面积是12．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出△ACD≌△BEC需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
22．如图，AB＝CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AB∥CD．
【分析】（1）由AF＝CE可得AE＝CF，利用HL可证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由HL证明三角形全等是解决问题的关键．
23．如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接AE、BD且AC∥DF，AC＝DF，∠ABC＝∠DEF．
（1）证明：△ABC≌△DEF；
（2）说明AE、BD的关系．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，利用AAS即可证明△ABC≌△DEF；
（2）利用SAS证明△ABE≌△DEB，根据全等三角形的性质及平行线的判定即可得解．
【解答】解：（1）AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DEF，
在△ABE和△DEB中，
，
∴△ABE≌△DEB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEB＝∠DBE，
∴AE∥BD，
即AE＝BD，AE∥BD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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